2013考研数学强化10.pdfVIP

有了文登·学府，考研就有了高度＆速度！权威卓越品质，学员成绩全国绝对第一！ 第十讲 多元积分学 【例1】设有空间区域Ω1 {(x , y , z ) x 2 =+ y 2 + z 2 ≤ R 2 , z ≥ 0} ， Ω2 {(x , y , z ) x 2 =+ y 2 + z 2 ≤ R 2 , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0} ，则【 】 （A）∫∫∫ xdv 4∫∫∫ xdv （B）∫∫∫ ydv 4∫∫∫ xdv Ω Ω Ω Ω 1 2 1 2 （C）∫∫∫ zdv 4∫∫∫ xdv （D）∫∫∫ xyzdv 4∫∫∫ xyzdv Ω Ω Ω Ω 1 2 1 2 分析及解题思路：由区域形状可见，利用奇、偶性、对称性及轮换对称性即可解决本题. 【详解】应选（C）. 既对称于 平面，又对称于zox 平面.被积函数 既是 的偶函数，又是 的偶函数， Ω1 yoz z x y 所以∫∫∫ zdv 4∫∫∫ xdv . Ω Ω 1 2 又因在第一卦限内，x、y、z轮换对称，所以∫∫∫ zdv ∫∫∫ xdv ， Ω Ω 2 2 从而（C）正确，选（C）. (A)、(B)、(D)的左边均为0 而右边皆为正，所以(A)、(B)、(D)都不正确. 【例2】计算 z 2 dv ,其中 由x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ,x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2Rz (R 0) 所确定. ∫∫∫ Ω Ω R R 【详解】原式= 2 2 + dz z 2 dxdy ∫0 dz ∫∫ z dxdy ∫R ∫∫ x 2 + y 2 ≤2Rz −z 2 2 x 2 +y 2 ≤R 2 −z 2 R = 2 πz 2 (2Rz − z 2 )dz + R πz 2 (R 2 − z 2 )dz = 59 πR 5 ∫ ∫R 0 480 2 【例3】求I ∫∫∫ (x =+ y + z )dv ,Ω 由曲面z x 2 + y 2 与z 1− x 2 − y 2 围成. Ω 【详解】积分区域 关于 面， 面均对称，被积函数 x + y + z 中 关于 是奇函 Ω yoz xoz ( ) x x 数， 关于 是奇