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第二篇 集合论 第三章集合的基本概念 和运算 第三章 集合的基本概念和运算 集合的基本概念与表示 集合的基本运算 §3.1 集合的基本概念与表示 一、基本概念 1.集合与元素 集合：是由确定的对象(客体)构成的集 体。用大写的英文字母表示。 元素：集合中的对象，称之为元素。 ∈：表示元素与集合的属于关系。 例如，N表示自然数集合，2 ∈N，而 1.5不属于N，写成¬(1.5 ∈N), 或 写成 1.5∉N。 2. 有限集合与无限集合 有限集合：元素是有限个的集合。 如果A是有限集合，用|A|表示A 中元素 个数，称为集合A 的基数或者势。例如， A={1,2,3}, 则|A|=3。 无限集合：元素是无限个的集合。 3.集合的表示方法 列举法：将集合中的元素一一列出，写 在大括号内。 例如，N={1,2,3,4,……} A={a,b,c,d} 描述法：用句子(或谓词公式)描述元素 的属性。 例如，B={x| x是偶数} C={x|x是实数且2≤x≤5} 一般地，A={x|P(x)}, 其中P(x)是谓词公 式，如果论域内客体a使得P(a)为真，则 a ∈A ，否则a∉A 。 4. 说明 ⑴集合中的元素间次序是无关紧要的，但是必须 是可以区分的，即是不同的。例如A={a,b,c,a} ， B={c,b,a,}，则A与B是一样的。 ⑵对集合中的元素无任何限制，例如令 A={人，石头，1，Ｂ}, B={ Φ,{ Φ}} ⑶本书中常用的几个集合符号的约定： 自然数集合N= {1,2,3,……} 整数集合I，实数集合R，有理数集合Q ⑷集合中的元素也可以是集合，下面的集合的含义不 同： 如 a： 张书记 {a}: 党支部(只有一个书记) {{a}}： 分党委(只有一个支部) {{{a}}}： 党委 (只有一个分党委) {{{{a}}}}： 市党委(只有一个党委) 二、集合间的关系 1.被包含关系(子集) “⊆” 1）定义：A 、B是集合，如果A 中元素都 是B中元素，则称B包含A ，A包含于 B，也称A是B的子集。记作A⊆B。 例如，N是自然数集合， R是实数集合，则N⊆R A B 谓词定义： A⊆B⇔∀x(x ∈A→x ∈B) 2 ）性质： ⑴有自反性，对任何集合A有A⊆A 。 ⑵有传递性，对任何集合A 、B、C，有 A⊆B且 B⊆C ，则A⊆C。 ⑶有反对称性，对任何集合A 、B，有 A⊆B且 B⊆A ，则A=B 。 2.相等关系 “=” 1）定义：A 、B是集合，如果它们的元 素完全相同，则称A与B相等。记作A=B 。 定理：A=B ，当且仅当A⊆B且 B⊆A 。 证明： 充分性，已知A⊆B且 B⊆A ，假设 A ≠B，则至少有一个元素a,使得a ∈A而 a∉B；或者a ∈B而a∉A 。如果a ∈A而 a∉B，则与A⊆B矛盾。如果a ∈B而 a∉A ，则与 B⊆A矛盾。所以A=B 。 必要性显然成立，因为如果A=B ，则必 有A⊆B且 B⊆A 。 谓词定义： A=B⇔A⊆B∧B⊆A ⇔∀x(x ∈A→x ∈B)∧∀x(x ∈B→x ∈A) ⇔∀x((x ∈A→x ∈B)∧(x ∈B→x ∈A)) ⇔∀x(x ∈A↔x ∈B) 2 ）性质 ⑴有自反性，对任何集合A ，有A=A 。 ⑵有传递性，对