主题19 空间点线面位置关系及空间角的计算（理）-2018年高考数学二轮透析23题对对碰（解析版）.doc

20018届学科网二轮透析高考数学23题对对碰【二轮精品】 第三篇 主题19 空间点线面位置关系及空间角的计算（理） 【主题考法】本主题考题形式为解答题，以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体主要考查对线线、线面与面面平行和垂直判定与性质和利用空间向量知识计算异面直线角、线面角、二面等问题，考查空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力，难度为中等，分值为12分． 【主题考前回扣】 1.平行、垂直关系的转化示意图 (1) (2)两个结论 ①?a∥b，②?b⊥α. 2．用空间向量证明平行垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)．则有： (1)线面平行 l∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 3．用向量求空间角 (1)直线l1，l2的夹角θ有cos θ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l1，l2分别是直线l1，l2的方向向量)． (2)直线l与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos〈l，n〉|(其中l是直线l的方向向量，n是平面α的法向量)． (3)平面α，β的夹角θ有cos θ＝|cos〈n1，n2〉|，则α—l—β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量)． 不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中mα的限制条件． 注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系． ．几种角的范围 两条异面直线所成的角0°α≤90°； 直线与平面所成的角0°≤α≤90°； 二面角0°≤α≤180°；学-科网 两条相交直线所成的角(夹角)0°α≤90°； 直线的倾斜角0°≤α180°； 两个向量的夹角0°≤α≤180°； 锐角0°α90°. ．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错． 中，为的重心，. （1）求证：平面； （2）若侧面底面，，，求直线与平面所成角的正弦值. 【分析】(1) 连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接,只要证明所以平面平面，由面面平行的性质可证平面；(2)由题意先证明侧面底面，由面面垂直的性质可证平面，所以可以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，由空间向量夹角公式求之即可. 【解析】（1）证明：连接，并延长，交于点，过作，交于点，分别连接. 因为是的重心，所以.………………1分 又，所以. 又据三棱柱性质知， 所以.………………2分 又因为平面，平面， 所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面.………………3分 又因为平面， 所以平面.………………4分 （2）连接. 因为，，， 所以， 所以，所以. 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面. 因为，，所以是等边三角形， 所以.………………6分 所以 令得，………………10分 所以. 所以.即直线与平面所成角的正弦值为.……………12分 考向二 空间垂直的证明 【解决法宝】要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”或面面垂直的定义．从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行，也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间垂直关系． 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； (2)利用勾股定理逆定理；学-科网 (3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. （4）证明直线的方法向量与平面的法向量共线 2. 证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直； (3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. （4）证明两个平面的法向量垂直. 3.证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一