不等式与推理与证明.docVIP

专题9、 不等式与推理与证明 一、主要知识网络 二、内容及方法解析 要注意不等式的性质的单项性与双向性，也就是每条性质是否具有可逆性。在应用性质时，一定要准确把握条件是结论的充要条件还是充分条件。 在学习不等式的解法时，应掌握各类不等式的特点，同解不等式的特殊性，并认真归纳出各类不等式的常规解法和思路。这部分在高考中经常出现，因此是重点内容。解各类不等式都有其“通法”，也有“巧法”，且不可偏爱“巧法”而忽视“通法”，否则将本末倒置。 线性规划是直线方程在解决实际问题中的应用，常通过二元一次不等式表示的平面区域来确定实际问题的解，应用极为广泛。常用的数学思想方法是数形结合。 能够利用基本不等式求函数的最值，能够熟练运用变形过程中的一些常用技巧，能够运用配方思想、函数思想、分类讨论思想。 不等式作为一种工具常与函数与方程结合在一起，来研究函数与方程的有关题目，再就是利用函数和方程的理论研究不等式，如根的分布问题、恒成立问题、解析几何中的变量范围问题等都是高考的命题的重点内容，往往在高考中以综合题的形式出现。 通过已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析方法，认识归纳推理和类比推理这两种推理的基本方法。体会演绎推理在实际证明中的应用价值和证明的一般过程。 数学归纳法具有猜想归纳培养探索问题的能力，所以成为高考的重点，应引起足够的重视。此类问题分为归纳型问题和存在性问题，需要从特殊情况下手，通过观察、分析、归纳、猜想探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想。 三、重要考点高考试题回顾与命题展望 考点1 不等式 不等式的应用在高考中主要体现在两个方面 一是解决数学问题，如解析几何中直线与圆锥曲线交点问题，方程的解的个数问题，函数的定义域、值域等，考查的可能性比较大。 二是解决实际问题，应用题在近几年高考中出现的不多，随着新教材的使用趋于稳定，考查的可能性也在增加。 高考题1（2007年安徽）若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解析：若x0时，a≤1。若x0时，a≥1。若x＝0，恒成立。所以选B。 知识方法探究：求解不等式恒成立问题时，通常转化为求函数的最值问题。必要的时候进行分类讨论。但是对分类标准的把握又是一个重点。 高考题2：如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 解析：画出点P的平面区域后，应用两点的距离公式求解。答案A。 知识方法探究：线性规划问题时高考的热点之一，考查时可以求最优解、最值等，通常画图，用数形结合的思想方法解题题目多为选择题、填空题，为容易题或中档题，多数情况下可用特殊位置法解题。 高考题3：（04年重庆理22）设数列满足 （Ⅰ） 证明：对一切正整数成立； （Ⅱ）令判断与的大小，并说明理由. 解析：（Ⅰ）证法一： ①当时，不等式成立， ②假设时，成立 当时， 时，成立 由①②可知，对一切正整数成立. 证法二：由递推公式可得 … 上述各式相加并化简得 又时，成立，故 （Ⅱ）解法一： 故 解法二： 故.因此 知识方法探究:本题是考查数列与不等式的综合题,运用数学归纳法证明递推数列的不等关系,考查不等式证明的基本方法:比较法、放缩法. 高考题4：（06年浙江理16） 设使,，求证： (Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1； (Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. 解析：(Ⅰ)因为,所以 又,消去,得, 由消去,得 所以 (Ⅱ)抛物线的顶点坐标为 又两边乘以得 ,又 而 所以方程在区间与内分别有一实根,即方程在有两个实根. 知识方法探究：本题考查了不等式的基本性质以及不等式的证明方法。第二问考查了函数与方程的思想以及零点分布的判断方法。 考点2推理与证明 推理在高考中主要考查归纳推理与演绎推理，主要应先由已知条件归纳出一个结论，并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论，并要求考生会应用或加以证明。 高考题1（2006江西）已知数列满足:. 求数列{an}的通项公式; 证明:对一切正整数n,不等式a1.a2.……an2.n! 恒成立. 解析： (1)将条件变为:,,因此, 为一个等比数列. 其首项为,公比为,从而 据此得. （2）证:据①得为证 只要证时有.…………② 显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N* …………③ 用数学归纳法证明③式： 10当n=1时，显然③式成立， 20设时，③式成立 即记此式为f(k)≥g(k)……④ 则当n=k+1时，只需证 即 代④知只需证：f(k)≤1.此式显然成立。 ∴n=k+1时,不等式成立。由归纳原理知，不等式对任意正整数n都成立。 知识方法探究：题（1）对递推公式变形后,整体代换把看成一个数列