光定在波原子波回折.docVIP

付録　J　光定在波による原子波の回折 J．１　レーザー光が作る光定在波 にあるレーザー光源から方向へ進行する周波数，波数のレーザー光を考える．このレーザー光の電場は，振幅の揺らぎを無視すると， （J.1） と表わせる．は光源の位置における電場の位相で，レーザーの持つ周波数の揺らぎを表現できるように時間依存性を持たせている．例えば，レーザーの線幅が2π×１[MHz]の場合，はその逆数である160 nsの時定数（コヒーレンス時間）で2π程度変化する関数と考える．問題にする光学系のスケールがレーザー光のコヒーレンス長（コヒーレンス時間×光速）より十分短いとすると＊，ある時刻における電場の位相差は空間的に一様とみなせる．このとき電場は近似的に （J.2） と表せる．以降，電場としてこの表現を採用する．同様に，方向へ進行するレーザー光の電場を， （J.3） と表す．これら対向するレーザー光を重ね合わせてできる電場は （J.4） となる．ここでと定義した． レーザー光を単にミラーで折り返した場合は、、であるので， （J.5） となる．これは周期がλ/2（）の光定在波を表す．注目すべきことは，例えレーザー光の位相が揺らいでも，定在波の腹と節の位置は揺らがないことである．このことは原子波に対して位置の安定した光格子を生成する上で非常に重要である． 対向するレーザー光の周波数が異なる場合は，式（J.4）が （J.6） と書き表せることからわかるように，速度で進行する光定在波となる＊＊．原子系と光定在波との相互作用を考える際，進行する定在波より静止した定在波の方が扱い易い．よって，対向するレーザー光の周波数が異なる場合は，実験室系Ｓに対して軸方向に速度で移動する座標系Ｓ’（ここでは定在波は静止している）に移って問題を考えることにする． 座標系Ｓ’での時空座標をと表すことにすると，ＳとＳ’間の座標変換は以下の ローレンツ変換公式に従う： ． （J.7） これを（J.4）に代入すると，座標系S’における光定在波の電場表現が得られる： （J.8） ここで， （J.9） と定義した?．またとする近似を用いた??．がに比べ十分小さければ（同じ意味だががより十分小さければ），と近似できる： ． （J.10） この光定在波は，ミラーを折り返してできる式（J.5）の光定在波とほとんど同じ形をしているが，光定在波の位置が電場の相対位相に依存する点が異なる．特に独立な２台のレーザーを用いて定在波を作った場合，との間には全く時間的相関がないので，光定在波の位置はレーザーのコヒーレンス時間と同じ時定数で揺らぐことになる．これでは原子波に対する安定な回折格子になり得ない．しかし，１台のレーザーから音響光学変調器（AOM：Acousto-Optic Modulator）を用いて２本のレーザー光を用意した場合，とには時間的相関ができる： ． （J.11） ここで，はAOMでレーザー光が回折する際に生じる位相変化で，AOMの位置と注入するrf波の位相で決まる．また，は，レーザー光を反射させるミラーの位置変化や，電気光学変調器（EOM：Electro-Optic Modulator）などによってAOMを通った後のレーザー光に与えられる位相である．は，ミラーの振動や風による光学距離の揺らぎなど制御できない部分と，EOMのように制御できる部分を一般に含む．以下の議論ではは時間的に変動しないとして，これを無視する事にする※．式（J.11）を式（J.10）に代入すると （J.12） となる．この光定在波は，式（J.10）の定在波と違ってレーザーの位相揺らぎによって位置が揺らぐことはない．しかし，によっては位置が揺らぎ得る．式（J.12）の右辺右側のcosは電場の時間変化を表しているが、この位相のうち「」の項はレーザーそのものの位相揺らぎを表すのに対し，「」の項はレーザー光がレーザーを出た後に加えられる位相揺らぎを表す．「」の項がレーザーのコヒーレンス時間内でほとんど揺らがない場合は、この項は実効的に無視する（に含める）ことができる． 以上のような考察のもと，原子と光定在波との相互作用を考える上での出発点として，以下の波数，周波数の定在波を考える： （J.13） ここではレーザーのコヒーレンス時間で2π程度揺らぐが，はコヒーレンス時間内ではほとんど揺らがないとする．式（J.13）は，と置けばミラーでレーザー光を折り返してできる光定在波（J.5）を表現できる．また，1台のレーザーからAOMを用いて周波数がだけ異なる2本のレーザー光を用意して作られる光定在波は，速度 （J.14） で動く座標系で考えれば，同様に式（J.13）で表現できる． J．２　光定在波