专题五　函数与几何综合运用.docx

专题五　函数与几何综合运用类型1　存在性问题存在性问题一般有以下题型：是否存在垂直、平行——位置关系；等腰、直角三角形、(特殊)平行四边形——形状关系；最大、最小值－－数量关系等．1．如图，已知二次函数y1＝－x2＋x＋c的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2＝kx＋b.(1)求二次函数的解析式及点B的坐标；(2)由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；(3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)将A(4，0)代入y1＝－x2＋x＋c，得－42＋×4＋c＝0，解得c＝3.∴所求二次函数的解析式为y1＝－x2＋x＋3.∵当x＝0时，y1＝3，∴点B的坐标为(0，3)．(2)满足y1＜y2的自变量x的取值范围是：x＜0或x＞4.(3)存在，理由如下：作线段AB的中垂线l，垂足为C，交x轴于点P1，交y轴于点P2.∵A(4，0)，B(0，3)，∴OA＝4，OB＝3.∴在Rt△AOB中，AB＝＝5.∴AC＝BC＝.∵Rt△ACP1与Rt△AOB有公共∠OAB，∴Rt△ACP1∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得AP1＝.而OP1＝OA－AP1＝4－＝，∴点P1的坐标为(，0)．又∵Rt△P2CB与Rt△AOB有公共∠OBA，∴Rt△P2CB∽Rt△AOB.∴＝，即＝，解得P2B＝.而OP2＝P2B－OB＝－3＝，∴点P2的坐标为(0，－)．∴所求点P的坐标为(，0)或(0，－)．2．(2017·临沂)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由y＝ax2＋bx－3得C(0.－3)，∴OC＝3，∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)，把A(2，－3)，B(－1，0)代入y＝ax2＋bx－3得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；(2)设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A(2，－3)，C(0，－3)，∴AF∥x轴，∴F(－1，－3)，∴BF＝3，AF＝3，∴∠BAC＝45°，设D(0，m)，则OD＝|m|，∵∠BDO＝∠BAC，∴∠BDO＝45°，∴OD＝OB＝1，∴|m|＝1，∴m＝±1，∴D1(0，1)，D2(0，－1)；(3)设M(a，a2－2a－3)，N(1，n)，①以AB为边，则AB∥MN，AB＝MN，如图2，过M作ME⊥对称轴于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE＝AF＝3，ME＝BF＝3，∴|a－1|＝3，∴a＝4或a＝－2，∴M(4，5)或(－2，5)；②以AB为对角线，BN＝AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M(0，－3)，综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M(4，5)或(－2，5)或(0，－3)．类型2　几何最值、定值问题3．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′.抛物线y＝－x2＋2x＋3经过点A、C、A′三点．(1)求A、A′、C三点的坐标；(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分的面积；(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标．解：(1)当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝－1，∴C(－1，0)，A′(3，0)．当x＝0时，y＝3，∴A(0，3)．(2)设A′C′与OB相交于点D.∵C(－1，0)，A(0，3)，∴B(1，3)．∴OB＝＝.∴S△BOA＝×1×3＝.又∵平行四边形ABOC旋转90°得到平行四边形A′B′OC′，∴∠ACO＝∠OC′D.又∵∠ACO＝∠ABO，∴∠ABO＝∠OC′D.又∵∠C′OD＝∠AOB，∴△C′OD∽△BOA.∴＝()2＝()2.∴S△C′OD＝.(3)设M点的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，连接OM.S△AMA′＝S△MOA′＋S△MOA－S△AOA′＝×3×(－m2＋2m＋3)＋×3×m－×3×3＝－m2＋m＝－(m－)2＋.(0＜m＜3)当m＝时，S△AMA′取到最大值，∴M(，)．4．(2017·南宁)如图，已知抛物线y＝ax2－2ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点