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高中数学高考综合复习专题八　　 数列的概念与公式 　　一、知识网络　　 　　二、高考考点.　　1.一般数列｛an｝中an与sn之间关系的应用；求（或）；求和；　　2.简单递推公式及其应用：求某些项或求通项；　　3.运用函数或方程的思想分析或转化问题的能力.　　三、知识要点.　　1.定义　　（1）按一定次序排成的一列数叫做数列.　　（2）如果数列｛ ｝的第n项 与项数n之间的关系可以用公式 ＝f（n）来表示，则这个公式称为数列｛ ｝的通项公式.　　（3）如果已知数列的第一项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式叫做数列｛ ｝的递推公式.　　认知：　　（1）数列实际上是定义域为 （或它的有限数集｛1，2，……，n｝）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，数列的通项公式 ＝f（n）就是相应的函数解析式.　　2. 与 的关系式　　设｛ ｝为任一数列， 表示数列｛ ｝的前几项和，　　则有 ；　　四、经典例题.　　例1.根据所给数列的前几项，写出数列的一个通项公式.　　（1） ， ， ， ，……；　　（2）－ ， ，－ ， ，……；　　（3） ， ，－ ， ，……；　　（4）1，3，7，13，……；　　（5）5，11，23，47，……；　　（6）0，1，0，1，……；　　（7）1，1，2，2，3，3，……；　　（8）34，3434，343434，……；　　分析：　　（1）寻求同号分数数列的通项公式，一般从分别考察分子、分母入手.为寻觅规律.必要时先对各项作“同一变形”再作考察.在这里，注意到有两项分子为4，故考虑将各项分子“统一”为4： ， ， ， ，……；　　至此，分母的特征已经显现：各项分母均等于17减去项数的3倍（或分母依次组成等差数列），故得 ＝ （nN+）.　　（2）当数列的项“正负相间”时，一般对“绝对值”和“符号”分别考察：在这里，各项绝对值依次为 ， ， ， ，……；可见，这一数列第n项分子为2n，而各项分母均等于分子的平方减去1，故这一数列第n项为 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　再注意到原数列的奇数项为负，偶数项为正，故第n项的符号由符号因子（－1）n决定　　 　　由得， ＝（－1）n 　　 （nN+）　　（3）为调整正负相间的态势，对第一项变形　　－（－ ）， ，－ ， ，……；　　　　　　　　　　　　　　　　 　　考察相关数列　　 ， ， ， ，……　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　可见其第n项分母为2n，又各项分子均等于分母减去3，故得数列的通项为 ③　　由得原数列的通项公式为 ＝ 　　（nN+）　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（4）注意到从第2项起，各项与其前一项的差依次成等差数列（这样的数列称为二阶等差数列），故考虑运用作阶差――再迭加的解法（特性特法）　　设这一数列为｛ ｝，则　　 － ＝2＝2×1　　 － ＝4＝2×2　　 － ＝6＝2×3　　……　　－ ＝2（n－1）　　将以上各式两边相加得　　 － ＝ 　　＝n（n－1）＋1，即 ＝n2－n＋1　　 （）.　　（5）设这一数列为｛ ｝，则　　 ＝5＝6－1＝3×21－1　　 ＝11＝12－1＝3×22－1　　 ＝23＝24－1＝3×23－1　　 ＝47＝48－1＝3×24－1　　……　　由此猜想 ＝3 2n－1（），证明从略.　　点评：寻觅各项与其项数之间的规律性，常考察　　（）各项与其项数±b的平方的关系，或“每项±a”与其“项数±b”的平方之间的关系；　　（）各项与其项数的指数式之间的关系，或“各项±a”与其项数的指数式之间的关系；　　（）各项和“项数与相邻整数乘积”的关系；　　（）“差数列”或“商数列”的特征.　　（6）分析：注意到基本周期数列｛（－1）n｝：　　－1，1，－1，1，……　　各数加1：0，2，0，2，……　　各数同除以2：0，1，0，1，……　　所求通项公式为 ＝ （）.　　（7）借鉴（6）的解题经验与结果，　　这里 ＝1＝ 　　 ＝1＝ 　　 =2= 　　 =2= 　　……　　又1，0，1，0，……的第n项为 ，　　所求通项公式为 ＝ （）.　　（8）注意到我们所熟悉的数列　　9，99，999，……的通项公式的求法，　　对这一数列的各项统一变形得　　 ＝34＝ 　　 ＝3434＝ 　　 ＝343434＝ 　　……　　由此得出 ＝ （）.　　点评：对具有“周期”特征的数列，寻觅通项公式的变形过程中要注意与“已