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调和级数发散性的证明方法 姓名：范璐婵 摘 要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。 关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛 Proofs of the divergency of harmonic series Name: Fan Luchan Director: Wang Yingqian Abstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new. Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency 引言 调和级数的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆（1323——1382）在极限概念被完全理解之前的400年证明的。他的方法很简单： 注意后一个级数每一项对应的分数都调级数中，而且后面级数的括号中的数值和都为，这样的有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调级数也是发散的为基础的。以下是他的证明。 证明： ， ， ， 所以 . 则 . 接着设 ， 则 ； ； ； ； ； ； . 即 . 没有一个有限数会大于等于自己，即是无穷大，所以调和级数发散. 由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。伯努利作出这一论证之后的150年，才有真正的级数理论出现。他用简明的来证明级数的无穷性，这是证明量的无穷性的一个最独特的方法。 而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级数的发散性。例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等。在级数敛散性的讨论中，调和级数的应用很广泛。了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用。 本文给出了调和级数发散性的18种证明方法。其中前13种散见于各种资料，笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或方法导出的。 1证法一：利用反证法. 假设调和级数收敛，记其和为S，即S=， 由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知： S==1+ =（1+ （1+ 从而 0 矛盾，所以调和级数必发散. 2证法二：证明调和级数的部分和可任意大. 依次将九项，九十项，九百项，括在一起得 从上式中可以看出的和可任意大，故级数发散. 3证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列发散. ， 事实上，存在，对任意自然数，总能找到两个自然数，，当然也有，使得 ==. 据柯西收敛准则的否定叙述，发散，从而发散. 4证法四：证明部分和数列的子列发散. = 于是 . 即 . 故数列 发散，从而调和级数发散. 5证法五：利用欧拉常数证明. 证明数列存在极限C（欧拉常数），这里 ， 即=C+,其中0（当时） 因为 ， 所以 ， 从而有 ， ， ， 上述n个不等式两边相加得 ， 于是 . 即有下界.其次 应用不等式，有 . 故有是一个单调下降的数列，因此存在，用C表示，即 . 也就是 . 显然 . 故调和级数发散. 6证法六：应用级数（其中）与级数 有相同的收敛性. 取 ， . 而级数 发散. 故调和级数发散. 7证法七：利用广义积分法. 对于部分和数列： ， 有 ，