十二　导数综合应用.docVIP

第十二节　导数的综合应用 【必威体育精装版考纲】　会用导数解决实际问题能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题． 1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题一般地对于实际问题若函数在给定的定义域内只有一个极值点那么该点也是最2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路 3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究． 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)若实际问题中函数定义域是开区间则不存在最优解．(　　)(2)函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点最少有一个交点．(　　)(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0则f(x)＞g(x)．(　　)(4)“存在x∈(a)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a)，使f(x)≥a”．(答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－＋81x－234则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)万件　　　　　　　　　．万件万件 ．万件解析：y′＝－x＋81令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0)时当x∈(9＋∞)时则当x＝9时有最大值．即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．答案：3．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点则实数a的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是连续的故只需要两个极值异号即可(x)＝3x－3令3x－3＝0得x＝±1只需(－1)(1)0，即(a＋2)(a－2)0故a∈(－2)．答案：(－2) 4．若f(x)＝则f(a)(b)的大小关系为________．解析：由题意可知(x)＝当x∈(0)时0，即f′(x)0(x)在(0)上为增函数又∵0ab(a)f(b)．答案：f(a)f(b)5．表面积为12的圆柱当其体积最大时该圆柱的底面半径与高的比为________．解析：因为12＝2＋2所以rh＋r＝6.所以V＝＝r(6－r)(0r)．由V′＝(6－3r)＝0得r＝当0r时；当时所以当r＝时取极大值也是最大值此时h＝2所以r∶h＝1∶2.答案：1∶2 一个“构造”把所求问题通过构造函数转化为可用导数解决的问题这是用导数解决问题时常用的方法．两个转化一是利用导数研究含参数函数的单调性问题常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不两点注意注意实际问题中函数定义域的确定．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点那么根据实际意义该极值点就是最值点． 一、选择题1．(2016·潍坊模拟)方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数是(　　)　　　　　　　　．C．1 D．0 解析：设f(x)＝x－6x＋9x－10(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)由此可知函数的极大值为f(1)＝－60极小值为f(3)＝－100所以方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数为1个．答案：2．某公司生产某种产品固定成本为20 000元每生产一单位产品成本增加100元已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝则总利润最大时年产量是(　　)由题意总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100 x总利润P(x)＝又P′(x)＝令P′(x)＝0得x＝300易知x＝300时总利润P(x)最大．答案3．若存在正数x使2(x－a)1成立则a的取值范围是(　　)(－∞＋∞) ．(－2＋∞)(0，＋∞) ．(－1＋∞)解析：∵2(x－a)1－令f(x)＝x－(x)＝1＋2－x(x)在(0＋∞)上单f(x)f(0)＝0－1＝－1的取值范围为(－1＋∞)答案：4．若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)1(0)＝4则不等式f(x)＋1(为自然对数的底数)的解集为(　　)(0，＋∞) ．(－∞)∪(3，＋∞)(－∞)∪(0，＋∞) ．(3＋∞)解析：由f(x)＋1得(x)3＋构造函数(x)＝(x)－－3得F′(x)＝(x)＋(x)－＝[f(x)＋f′(x)－1]．由f(x)＋f′(x)1可知F′(x)0即F(x)在R上单调递增又因为F(0)＝(0)－－3＝f(0)－4＝0所以F(x)0的解集为(0＋∞)．答案：5．(2014·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ax－3x＋1若f(x)存在唯一的零点x且x则a的取值范围是(　　)(2，＋∞) ．(1＋∞)(－∞－2) ．(－∞－1)解析：a＝0时不符合题意．a≠0时(x)＝3ax－6x.令f′(x)＝0得x＝0或x＝若a0则由图象