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高三数学 人教版 二面角﹙一﹚ 北京市数学特级教师 何乃忠 1.定义: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.棱为 ,两个面分别为 的二面角记为 . 2. 平面角定义 ① 以二面角棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直与棱 的两条射线,这两条射线所形成的角叫做二面角的平面角。 ② 一个平面垂直于二面角 的棱 ，且与两个半平面的 交线分别是射线OA，OB，O为垂足，则 AOB叫做二面角 的平面角。 3. 直二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角。 4. 求二面角大小的方法 ⑴直接法﹙定义法﹚ ①选点法 ② 三垂线定理或逆定理法. ③ 线面垂直法. A B o ④ 全等三角形法﹙适用于图形关于某个面成对称的 问题﹚ ⑵ 补角法﹙间接法﹚ ① 原理1: 如图, 从直线 出发的三个半平面 , , 且 , 互为反向延长 的半平面,那么二面角 与 互补。 ② 原理2： 如图点p是二面角 内一点,PA 于A,PB 于B, 面PAB∩ =C, 则∠ACB 与∠APB 互补。 ③ 原理3： 如图二面角 的棱 垂直于平行四边形ABCD确 定的平面,则平面角 互补。 ④原理4: 如图 是二面角 的平面角,那么 与 互补. B A C ⑶面积法 空间的平面图形的面积为S,它在平面上的射影的面积 为S’,把空间的面延伸后与平面 所成的二面角为 D A B C S ⑷无棱二面角 ①找棱后再求平面角大小; ②使用面积法﹙不找棱﹚. ⑸向量法 ①找平面角两边所在的向量或与它们平行的向量. ②找两个半平面的法向量,研究法向量所成的角. 例1:已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等,且AB=AC= ,BC=2. 则以BC为棱,以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是﹙ ﹚. A B C D 例2:在棱长为 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角C1- BD1-C 的大小. A1 B1 C1 D1 A B C D