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数值计算试题库------证明题 1、 （本题10分）证明求积公式具有三次代数精度，其中是正常数。设， 证明由公式，，得到的序列收敛于。 证明计算的切线法迭代公式为 ， （10分） 证明向量的范数满足不等式 （1） (2)、证明题（本题10分） 设 证明对任意的有：. (10分) 证明: 方程组 使用Jacobi迭代法求解不收敛.明定积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度 设 （1） 写出解 的Newton迭代格式（2） 证明此迭代格式是线性收敛的 设R=I－CA，如果 ，证明： （1）A、C都是非奇异的矩阵 （2） 证明（本题10分） （1）当时，左边右边 （2分） （2）当时，左边右边 （4分） （3）当时，左边右边 （4）当时，左边右边 （5）当时，左边， 右边 （8分） 所以，该求积公式具有三次代数精度。 （10分）5分证明 由公式和 两式相减得··· 所以有： 5分证明 因为计算等同于求方程的正根， 令，代入切线法迭代公式得： ，···证明题（共10分） 证明（1）设是向量的分量，则， 所以由向量范数的概念可知，结论成立。 5分 （2）由 所以结论成立。 10分证明题（共10分） 证明:f (1, 2) = [f (1) – f (2)]/ (1 – 2) = [0 – 0]/ (-1) = 0, 对任意的x有 f (2, x) = [f (2) – f (x)]/ (2 – x) = [0 – (x-1) (x-2)]/ (2 – x) = (x-1), 所以 f (1, 2, x) = [f (1, 2) - f (2, x)]/ (1 – x) = [0 - (x-1)]/ (1 – x)= 1 (10分) 证明: 方程组 使用Jacobi迭代法求解不收敛. 证明 Jacobi迭代法的迭代矩阵为 （分） 的特征多项式为 （分） 的特征值为，，，故，因而Jacobi迭代法不收敛。 （分）证明：当时，公式左边：?????????????????????????? 公式右边：?????? 左边==右边 （分）当时??????????? 左边： ??????????????????????? 右边：左边==右边 （分）当时???????????? 左边： ??????????????????????? 右边：左边==右边（分） 当时???????????? 左边： ??????????????????????? 右边：左边==右边（分） 当时???????????? 左边： 右边： （分） 故具有三次代数精度。 （1分） 证明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式：（分） n=0,1,… 得 ，n=0,1,… （分） （2）因迭代函数 ，而 ， （分） 又 ，则 （分） 故此迭代格式是线性收敛的。 （1分） 证明：（1）因 ，所以I–R非奇异，因I–R=CA，所以C，A都是非奇异矩阵 （分） （2） ???? ??????? (2)?? 故 则有 （5分） 因CA=I–R，所以C=（I–R）A-1，即A-1=（I–R）-1C 又RA-1=A-1–C，故 由 （分） 移项得 结合（2.1）、(2.2)两式，得 （分）