计算机方法-数值积分.pptVIP

积分第二中值定理 梯形(trapezia)公式具有 次代数精度。 故 均差性质 1 设在区间[a, b]上函数f (x)连续，而函数?(x)可积且不变号，则在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使 积分第二中值定理： 均差性质： 2. Simpson公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式 记为 Simpson公式的余项为 Simpson公式具有 次代数精度。 3 3. Cotes公式及其余项 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Cotes求积公式，也称五点公式 记为 Cotes公式的余项为 Cotes公式具有5次代数精度。 第3节 复化求积公式 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值 ? 分段低次合成的 Newton-Cotes 复化求积公式。 ? 复化梯形公式： 在每个 上用梯形公式： = Tn 由介值定理知： 使 即有： 余项： ? 复化 Simpson 公式： 4 4 4 4 4 = Sn 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 ，有 例1: 分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分： 积分的相对精确值为 解：设 =0 步长 h=1/8。 =0运算量基本相同 ?复化求积法的余项和收敛阶： 复化梯形（ Trapezoid ）公式的余项： 复化辛甫生（Simpson）公式的余项： 复化柯特斯（Cotes）公式的余项： 先看复化梯形公式余项： 当n充分大, 时， 即对复化的梯形公式有： 类似地，对于复化的辛甫生公式和柯特斯公式分别有： 而且，当h很小时，复化的梯形法、辛甫生法和柯特斯法分别有下列的误差估计式： 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C ? 0，则称该公式是 p 阶收敛的。 ~ ~ ~ 当步长h折半时，R(T), R(S),R(C)分别减至原有误差的1/4,1/16,1/64 例2：计算 解： 其中 = 3.138988494 其中 = 3.141592502 上例中若要求 ，则 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 上例中2k ? 409 ? k = 9 时，T512 = 3.141592018 Return §5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧 Q: 给定精度 ?，如何取 n ? 实际计算中常采用变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即 步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式计算，直至所求 积分值满足精度要求为止。 ?复化梯形公式的递推化： 将求积区间[a, b]分成n等分，一共有 个分点, n+1 将求积区间再二分一次，则分点增至 个， 每个子区间 二分后用复化梯形公式求的积分值为： 2n+1 h=(b- a)/n代表 二分前的步长。 注意到区间再次对分时 将每个子区间上的积分值相加得： 比较T n和T2n得下列梯形递推公式： 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式。 直接用计算 结果来估计 误差的方法 称为事后误 差估计法 ?龙贝格积分 （外推加速公式） /* Romberg Integration */ 的误差大致等于 由 可知： 用这个误差值作为的 一种补偿，可以期望所得到的 可能是更好的结果。 例：计算 已知对于? = 10?6 须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.141592018 由 来计算 I 效果是否好些？ = 3.141592502 的精度都很差（与准确值3较） = S4 一般有： ? Romberg 算法： ? ? ? ? ? ? … … … … … … ? T1 = ) 0 ( 0 T ? T8 = ) 3 ( 0 T ? T4 = ) 2 ( 0 T ? T2 = ) 1 ( 0 T ? S1 = ) 0 ( 1 T ? R1 = ) 0 ( 3 T ? S2