线性代数5.1-2.pptVIP

* * §1 数域 多项式的根§2 方阵的特征值与特征向量§3 方阵相似于对角矩阵的条件§4 正交矩阵§5 实对称矩阵的相似对角化 第五章 方阵的特征值 特征向量 与相似化简 §1 数域 多项式的根 定义1.1 设F是一数集,其中至少包含两个不同的数,如果F中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍是F中的数,则称F为一数域. 说明: (1)任何数域至少包含0和1. (2)数域对四则运算(除数不为0)是封闭的. (3)有理数域Q; 实数域R; 复数域C. 1.1 数域 (4)全体整数不构成一个数域. 1.2 多项式的根与标准分解式 定义1.2 设n为非负整数， 数域F 称 （1） 为数域F上的一个一元多项式. 当 时,则 称它为一个一元n次多项式， 多项式的首项系数， 非零数 称为该 称为常数项. 设n为正整数， 为n次多项式,称 为n次代数方程. 重复出现的根称为重根，重复出现的次数称为重数. 定理1.1 在复数域上, n 次代数方程恰有n个根(n≥1) . 定义1.3 对于n(n≥1)次多项式 , 代数方程 的根称为多项式 的根或零点. 设n次多项式 右端称为多项式 在复数域上的标准分解式. 重数分别为 的全部互异的根为 则 例1 标准分解式 例2 已知多项式f(x)的首项系数为5 , 2是3重根, 4是单根, 1是2重根, 则f(x)的标准分解式为 §2 方阵的特征值与特征向量 定义2.1 n阶矩阵 主对角线上n个元素的和 称为A的迹,记为 定义2.2 设n阶矩阵 ①含有 的矩阵 称为A的特征矩阵. ②称行列式 为A的特征多项式. ④A的特征方程的根称为A的特征值(特征根). ③称 为A的特征方程. 若 是特征方程的单根, 则称 为单特征值. 例1 矩阵 特征矩阵为 特征多项式 特征值 特征方程 若 是特征方程的重根, 则称 为重特征值. 求特征值时要指明数域 定理2.1 n阶矩阵A的特征多项式 是一个首项系数为1的n次多项式，若 则有 证明 设 则A的特征多项式为 系数等于? 常数项为 行列式的其他均布项最多只能是关于 的n-2次多项式 . 于是得 证毕 也只能出现在主对角线元素乘积的这一项, 故系数为 , 即 只能出现在主对角线元素乘积的这一项,故系数为1. 即 n阶矩阵A的特征多项式为 在复数域上,特征方程 有n个根,称为A的n个特征值, 记为 于是有 比较上面两个多项式,得 定理2.2 设n阶矩阵A的n个特征值为 则 推论2.1 方阵A可逆 A的所有特征值都不为零. 方阵A不可逆 A至少有一个零特征值. 是A的一个特征值 必有非零解. (设为 ) 定义2.3 设 是n阶方阵A的一个特征值.若有n维非零向量 使 成立，则称 为矩阵 A对应于(属于)特征值 的特征向量. 说明 (1)特征向量不能是零向量. (2)方阵A的对应于特征值 的特征向量 就是齐次线性方程组 的非零解. (3)方阵A的每一个特征向量唯一对应着某个确定的特征值. (称 为特征向量) 定理2.4 对于方阵A,只要有数 及非零向量 使 成立,则 必是A的特征值， 必是A对应特征值 的特征向量 设A为n阶方阵,如果存在数 及非零n维向 量 ,使得 方阵的特征值与特征向量的等价定义 则 为A的特征值， 为A对应于特征值 的特征向量. 求特征值、特征向量的方法： ①计算特征多项式 ②在指出数域上,求 的根(特征值). 记互异的特征值为 ③对每个 ,求 的基础解系 于是A的对应于特征值 的全部特征向量为 其中 不全为零的复数. 征值 的线性无关的特征向量) (它们是A的对应于特 解 ① A的特征多项式为 例2 求 的特征值和特征向量. ②A的特征值为 ③当 , 求