线性代数4.3和4.4.pptVIP

4.3 实对称矩阵 * * 定义4.8 设n阶方阵A满足： AT = A 则称A为对称矩阵. 显然，若 A = (a i j ) 为对称阵，则 a i j = a j I； 若aij为实数，则称A为实对称矩阵. 实对称矩阵 定理4.6:实对称矩阵的特征值必为实数。 定理4.7: 实对称矩阵的不同特征值所对应的特征 向量正交。 定理4.8: 若λi是实对称矩阵A的k重特征值，则存 在k个对应于λi的线性无关的特征向量。 定理4.9 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩 阵P，使 P-1AP = 其中λ1,λ2,…, λn 是A的特征值。 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使 其中 是以A的n个特征值为 对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量 是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向 量 对称矩阵的对角化 正交变换 Schimidt正交化过程 单位化得 例 求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，其中A为实对称矩阵 解 矩阵A的特征方程为 A的特征值为 对于 ，解方程组 r2+r1 (-1/2)r1 r1+(-1)r2 r3+2r2 (-1)r2 基础解系 对于 ，解方程组 基础解系 对于 ，解方程组 基础解系 由于三个特征值互不相同，根据定理4.7，可知 两两正交， 令 则 例 求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵，其中A为实对称矩阵 解 矩阵A的特征方程为 A的特征值为 对于 ，解方程组 r2+（-2）r1 (-1)r1 基础解系 r3+2r1 利用施密特正交化方法将它们正交化： 令 单位化得 对于 ，解方程组 基础解系 令 则 注意 （1）在实对称矩阵中，不同特征根对应的特征向量正交。故只对重根对应的特征向量进行施密特正交化。 （2）实对称矩阵可以用正交变换化为对角矩阵。 一、 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩、二次型的标准形 称为二次型。(1) 含有 个变量 的二次齐次多项式 定义4.9 4.4 二次型 （我们仅讨论实二次型） 实二次型： 为实数。 复二次型： 为复数。 例如： 都是二次型。 不是二次型。 取 则 则（1）式可以表示为 二次型用和号表示 令 则 其中 为对称矩阵。 二次型的矩阵表示 例如：二次型 在二次型的矩阵表示中， 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型． 这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 把对称矩阵 称为二次型 的矩阵 也把二次型 称为对称矩阵 的二次型 对称矩阵 的秩称为二次型 的秩 二次型 定义 例 求二次型 的矩阵 解： 解： 例 设二次型 求(1)f 的矩阵A；(2)当X＝(x1,x2,x3)T=(1,0,1)T时，求f 的值。 解 易知 且 例 求对称矩阵 所对应的二次型。 解： 例 已知二次型 的秩为2，求参数c。 解： 显然A是对称矩阵， 这表明对称矩阵A是二次型 的矩阵。 例 证明 例 解 由上例得 由于|A|≠0，故R(A)=2,从而二次型 f 的秩是2. 只含有平方项的二次型叫做标准形 解 例 （秩不变） 定义4.11 设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵 C，使得 B=CTAC，则称矩阵A与B是合同的，称矩 阵C为合同变换矩阵。 A与B是合同 A与B等价 定理4.10 对于任意可逆矩阵C，令B＝CTAC，如果 A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(B)=R(A)。 由上述定理知，二次型 f (x)=xTAx经可逆变换 x=Cy后，二次型 f 的矩阵由A变为CTAC，二次型的 秩不变。 二次型f (x)=xTAx的秩决定了 f 经过可逆线性变换 x=Cy后得到的标准型的非零项的项数。因此标准形 中不为零系数的个数就是矩阵A的秩。 二. 化二次型为标准形 配方法 正交变换法 目标： 问题转化为： 1. 配方法 例 求一