第四章控制系统根轨迹绘制.pptVIP

第四节 控制系统根轨迹分析 闭环零、极点的分布与系统的阶跃响应的关系 要求系统稳定，则系统的全部闭环极点均应为于S平面左半部； 要求系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴，以便阶跃响应中的每个分量都衰减的快； 由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于 45°线上时，其对应的阻尼比 为最佳阻尼比，这是系统的平稳性与快速性都比较理想。超过45°线，则阻尼比减小，振荡加剧； 离虚轴最近的闭环极点对系统动态过程的性能影响最大，起着决定性的主导作用，故称它为主导极点。通常，若主导极点离虚轴的距离比其他极点离虚轴距离的五分之一还小，而且附近又没有闭环零点存在，则其他极点便可忽略； 闭环零点的存在，可以削弱或抵消其附近的闭环极点的作用。当某零点Zi与其极点Sj靠得很近时，它们便称为偶极子。它们靠得越近，则Zi对Sj得抵消作用就越强。这时由Sj所对应得暂态分量很小，可以忽略； 单位反馈系统的开环零点和闭环零点是相同的，在设计时可以有意识的在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使系统的动态性能获得改善。 以上结论为我们利用根轨迹分析或设计系统提供了主要的依据。 利用主导极点估算系统的性能指标 由于主导极点在动态过程中起主要作用，因此，计算性能指标时，在一定的条件下，就可以只考虑主导极点所对应的暂态分量，忽略其余的暂态分量。将高阶系统近似看作一阶或二阶系统，直接应用第三章中计算性能指标的公式和曲线。 根轨迹与虚轴的交点为 ，对应的kc＝6。 当K=3时，系统处于临界稳定状态（等幅振荡）； 当K3时，有两条根轨迹进入S右半平面，系统不稳定； 当K3时，三个闭环极点全在S平面左半部，系统稳定。 K＝0.525，即k＝1.05时，闭环的三个极点为： S1＝－0.33＋j0.58 S2＝－0.33－j0.58 S3＝－2.34 由于S3距虚轴的距离大于S1和 S2实部离虚轴距离的七倍，所以可以忽略S3的影响，将此三阶系统近似为二阶系统。 S1和 S2称为主导极点。 分析 当0≤K≤0.192（根轨迹的分离点对应的K值）时，闭环极点均为负实数，系统阶跃响应为非周期过程，且由于最靠近虚轴的实数闭环极点离开虚轴向左移动，所以系统的调整时间ts逐渐减小。 当0.192＜K ＜3时，闭环极点有一对实部为负的共轭复数。阶跃响应为衰减振荡过程。由于根轨迹移向虚轴，响应衰减渐慢。 K＝3时，闭环极点有一对在虚轴上，阶跃响应为等幅振荡过程。 K＞3时，两条根轨迹进入S平面右半部分，系统不稳定，阶跃响应为发散振荡。 通过改造根轨迹改善系统的品质 系统根轨迹的形状、位置决定于系统的开环传递函数的零、极点。因此，可通过增加开环的零、极点来改造根轨迹，从而改善系统的品质。 例：已知某系统开环传递函数为 若给此系统增设一个开环极点（p=-2），或增设一个开环零点（z=-2）。试分别讨论对系统根轨迹和系统动态性能的影响。 解：附加极点后： 附加零点后： 依据根轨迹的绘制规则，绘出根轨迹 分析 原二阶系统，K从零变到无穷大时，系统总是稳定的； 附加一个开环极点后，K大到一定程度时，有两条根轨迹进入S平面右半部，系统变为不稳定系统。同样的K值情况下，对应的阻尼比 值更小，也就是说系统的超调量变大，调整时间变长，振荡也更加剧。 结论：附加开环极点对系统动态性能不利； 附加一个开环零点后，K从零变化到无穷大时，所有的闭环极点都在S左半平面，系统总是稳定的。而且随着K的增大，闭环极点由两个负实数变为共轭复数，再变为两个负实数，相对稳定性比原系统更好。在相同K值的情况下，对应的阻尼比 值更大，系统的超调量变小，调整时间变短。 结论：附加开环零点对系统动态性能有利。 总结: 开环零点对根轨迹的影响 1、改变了根轨迹在实轴上的分布； 2、改变了渐近线的条数、倾角和分离点； 3、若增加的开环零点和某个极点重合或距离很 近，构成开环偶极子，则两者相互抵消，因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点； 4、根轨迹曲线将向左移，有利于改善系统的动态性能。 开环极点对根轨迹的影响 1、改变了根轨迹在实轴上的分布； 2、改变了根轨迹的分支数； 3、改变了渐近线的条数、倾角和分离点； 4、根轨迹曲线将向右移，不利于改善系统的动态性能。 开环不稳定系统和条件稳定