第二章力系的基本运算66.pptVIP

第二章力系的基本運算內容大綱 2.1 概論 2.2 向量類別 2.3 力 2.4 共點力系 2.5 力對點的力矩 2.6 力對軸的力矩 2.7 力偶 概論 概述 由於力為向量，故力的運算必須以向量的方式處理。 本章將先介紹向量類別，再介紹力矩及力系合力的觀念。 本章將利用力的分解與笛卡爾向量式的方法來解決有關質點平衡 (equilibrium of a particle) 的問題。由簡入繁，首先探討共點共面力系的平衡問題，再討論三維共點力系的平衡問題。 向量類別 向量分類： 固定向量 ：作用點固定的向量 滑動向量 ：作用線固定的向量 自由向量 ：作用點與作用線均不固定的向量 力(force) 力是物體間的交互作用 會造成物體的變形 對物體的運動造成影響 力之種類 接觸力 分佈力 力之三要素 大小 方向 作用點 靜平衡 若一質點保持靜止不動，或維持等速直線運動，則此質點處於平衡狀態。通常物體保持靜止不動時，我們稱之為靜平衡。若欲維持平衡狀態，則必須符合牛頓第一運動定律，即作用於質點上的合力為零，此條件可以用數學式表示為 ?F = 0 其中 ?F 為作用在質點上所有力量的向量和 式 ?F = 0 不僅是平衡的必要條件，也是平衡的充份條件，這可從牛頓的第二運動定律??F = ma 得知。 若力系滿足式 ?F = 0，則可得 ma = 0，此質點的加速度 a = 0，所以質點會維持等速運動或靜止不動。 共點力系 共點力系 質點平衡必須滿足 ?F = 0 若將質點上的作用力都分解成 i、j、k 方向上的分量如上圖，則上式可寫成 ?Fx i + ?Fy j + ?Fz k = 0 若滿足式 ?F = 0 時，則也必須滿足下列三個純量方程式 ?Fx = 0 ?Fy = 0 ?Fz = 0 力對點的力矩 定義 若 F 與 O 點位於一陰影面，如下圖(a)，則繞 O 點或通過 O 點且與平面垂直的軸，其力矩MO 本質上為一向量，因其具有大小與方向。 力矩大小： 力矩MO的大小可表示成 ? MO = Fd 其中 d 為力臂，或力的作用線與支點 O 間的垂直距離，而力矩的單位為力與距離之積，即 N ? m或lb ? ft。 力矩方向?： MO 的方向依右手定則而定，將右手指依力將造成之旋轉方向彎曲，如上圖(a)，則右手大姆指的指向即為力矩的作用線之指向，且與 F 及 d 所在平面垂直。力矩 MO 可視為滑動向量，可在其作用線上任意移動。? 三維空間中 MO 將以一曲線附一箭頭表示，以便與施力向量區分，如圖(a)。 力學中許多問題皆為共面力系，故可視為二維平面問題。將圖(a)以平面視之可得圖(b)。 此處將力矩 MO 以逆時針旋轉的曲線表示，代表 F 的作用，箭頭指出旋轉的方向。應用右手定則，彎曲右手手指，則姆指將指向紙外。值得留意，此彎曲或旋轉方向通常可藉力繞 O 點之軌道表示，如圖(b)所示。 二維問題中經常須求取力對一點的力矩。力對軸所產生的力矩必與 F 及 d 所在平面垂直，且與此平面交於 O 點，如圖(a)。 共平面力系之力矩合成 若有一系統數力在 x-y 平面上，則各施力對 O 點所產生之力矩，其方向恆指向 z 軸，如下圖。由於各個力矩向量皆共線，則系統之力矩總合可簡單的利用純量加法來運算，即 MRO = ?Fd 上式左側逆時針曲線代表正負之規定，當力矩的方向指向正 z 軸，其值為正；反之，當力矩指向負z軸，其值為負。 向量法 力 F 對 O 點的力矩，或對穿越 O 點的一軸且垂直於 O 及 F 所在平面的力矩，如下圖(a)，可用向量的向量積表示 MO = r ? F 上式 r 表示由 O 點至 F 作用線上的任一點 A 的位置向量。 力矩大小 由 r ? F 的定義知其之夾角取決於 r與F尾端交角，故 r 可視為一滑動向量，即?? 可以正確的決定，如圖(b)。其力臂d = r sin?，故由式C =A ? B = (AB sin?) uC MO = rF sin? = F(r sin?) = Fd 與式 MO = Fd 相同。 力矩方向 ?? 力矩的方向可利用向量積的右手定則決定。將位置向量平移至虛線位置，彎曲右手手指，由 r 旋向 F，右手姆指的指向即 MO 的方向，如圖(b)，手指彎曲的方向即表示力對物體造成的旋轉方向。由於向量的向量積不具有交換律，故式 MO = r ? F中 r 與 F 的順序不可更換。 Example For each case illustrated in Figure (a) to Figure (e), determine the mo