第8章 代数系统.pptVIP

第8章 代数系统 近世代数 8.1 运算和代数系统 运算：设A、B是集合， F：An→ B，称F是集合A到集合B的n元运算。 封闭： 如果B ?A，则称F运算是封闭的 一元运算： 例： F1(x)=-x F2(x)=x2 二元运算： 例：+(x,y)=x+y ×(x,y)=x×y A={0，1，2，3} 运算表 一元运算 二元运算 F(X)=-X A={浅色,深色} 模4同余 N4={0,1,2,3} 定义在N4上的模4加法 x⊕y=（x+y）mod 4 写出运算表 定义在N4上的模4乘法 x⊙y=（x×y）mod 4 写出运算表 ⊙?⊙⊕× 8.2 二元运算的性质、特殊元素 交换律 a*b=b*a 结合律 (a*b)*c=a*(b*c) 分配律 a⊿(b*c)=(a ⊿b)*(a ⊿c) 幺元 x*e=e*x=x 左幺元 右幺元 零元 左零元 右零元 逆元 左逆元 右逆元 唯一性定理 幺元唯一 若存在两个幺元，e1，e2， e1=e1*e2=e2*e1=e2 零元唯一 若存在两个零元，θ1，θ2， 则 θ1=θ1*θ2=θ2*θ1=θ2 A,* 代数系统，|A|=2， 如果存在幺元e和零元θ，则e≠θ 8.3 同态与同构 代数系统 V1=S1, ﹡ V2=S2, ☆ 存在函数 使 F（x﹡y）= F（x） ☆ F（y） 则称代数系统V1与V2同态，F是V1与V2同态函数。 当 F是单射函数，则称代数系统V1与V2单一同态 F是满射函数 满 同态 F是双射函数 同构 自同态 ——A,*与 A, △自同态 f(x)=1/x f(x)=2x f(x)=x2 同构、同态例 R, × 与 {-1，0，1} ，× 满同态 Z,+, × 与 Z3, ⊕，⊙ 满同态 定理 设 代数系统V1=S1, ﹡和V2=S2, △同态， h：S1→ S2 若﹡可交换，则△亦然 若﹡可结合，则△亦然 若e是V1的关于﹡幺元，则h（e）是V2中关于△的幺元 若θ是V1的关于﹡零元，则h（θ）是V2中关于△的零元 若b是V1的 a关于﹡逆元, a ﹡b=b ﹡a=e， 则 h(a)﹡h(b)=h(b)﹡h(a)=h(e) * * -2 2 -1 1 0 0 1 -1 -x x 深色 深色 深色 深色 浅色 浅色 深色 浅色 ×