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扩展有限元方法及应用综述 郭历伦，陈忠富，罗景润，陈 刚 （中国工程物理研究院总体工程研究所，四川绵阳 ６２１９００） 摘要：扩展有限元（ＸＦＥＭ）是在标准有限元方法的框架下，提出来的一种用于解决裂纹、孔 洞、夹杂等间断问题 的数值方法。 在有限元的近似函数中，增加能反映待求问题间断特性的附加函数项，采用水平集方法（ＬＳＭ）描 述间断面的几何特性及其移动规律。 扩展有限元方法与标准有限元方法 相 比，具有计算精度高、勿 需 网 格 重 构 等特点。 本文综述了扩展有限元的理论基础及近年来的研究进展和应用情况。 第１～４ 节论述了扩展有限元方 法所涉及的理论基础；第５ 节对制约扩展有限元发展的两个问题及其修正方法进行了讨论；第 ６ 节 和 第 ７ 节 分 别介绍了扩展有限元程序实现及其在各领域的应用情况；最后，第８ 节对可进一步开展的研究工作进行了展望。 关键词：扩展有限元；单位分解；水平集方法；快速推进法；富集函数 中图分类号：Ｏ２４２．２１ 文献标识码：Ａ 文章编号：０２５４－００５３（２０１１）０４－６１２－１４ ＡＲｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅＥｘｔｅｎｄｅｄＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄａｎｄｉｔｓＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ＧＵＯＬｉ－ｌｕｎ，ＣＨＥＮＺｈｏｎｇ－ｆｕ，ＬＵＯＪｉｎｇ－ｒｕｎ，ＣＨＥＮ Ｇａｎｇ （ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣＡＥＰ，Ｐ．Ｏ．Ｂｏｘ９１９－４１１，Ｍｉａｎｇｙａｎｇ，Ｓｉｃｈｕａｎ６２１９００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ （ＸＦＥＭ）ｉｓａｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｆｏｒｍｏｄｅｌｉｎｇｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ ｓｕｃｈａｓｃｒａｃｋｓ，ｈｏｌｅｓ，ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓｅｔｃｗｉｔｈｉｎａｓｔａｎｄａｒｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｆｒａｍｅｗｏｒｋ．ＩｎｔｈｅＸＦＥＭ，ｓｐｅｃｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈｃａｎｒｅｆｌｅｃｔｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｓｓｏｌｕｔｉ???ｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓａｒｅａｄｄｅｄｔｏｔｈｅｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔａｐｐｒｏｘｉ－ ｍａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｔｈｅｆｒａｍｅｗｏｒｋｏｆｐａｒｔｉｔｉｏｎｏｆｕｎｉｔｙ．Ｔｈｅｇｅｏｍｅｔｒｙａｎｄｅｘｔｅｎｄｅｄｐｒｏｃｅｓｓｏｆｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｉｎ－ ｔｅｒｆａｃｅｉｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙｌｅｖｅｌｓｅｔｓｍｅｔｈｏｄ （ＬＳＭ）．Ｃｏｍｐａｒｅｄｔｏｔｈｅｓｔａｎｄａｒｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ，ｉｔｃａｎ ｏｂｔａｉｎｍｏｒｅａｃｃｕｒａｃｙｗｉｔｈｏｕｔｒｅｍｅｓｈｉｎｇ．Ａｎｏｖｅｒｖｉｅｗａｎｄｒｅｃｅｎｔｐｒｏｇｒｅｓｓｏｆｔｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ＴｈｅｔｈｅｏｒｙｂａｓｉｓｏｆＸＦＥＭｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｆｒｏｍｓｅｃｔｉｏｎ１ｔｏ４．Ｔｏｗｃｒｉｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ ｉｎＸＦＥＭａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄｉｎｓｅｃｔｉｏｎ５．ＴｈｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＸＦＥＭａｒｅｏｕｔｌｉｎｅｄｉｎＳｅｃｔｉｏｎ ６ａｎｄＳｅｃｔｉｏｎ７，ａｎｄｆｉｎａｌｌｙｓｏｍｅｒｅｃｏｍｍｅｎｄａｔｉｏｎｓｏｆｆｕｔｕｒｅｗｏｒｋａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｓｅｃｔｉｏｎ８． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｎｉｔｅｅｌｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄ；ｐａｒｔｉｔｉｏｎｏｆｕｎｉｔｙ；ｌｅｖｅｌｓｅｔｓｍｅｔｈｏｄ；ｆａｓｔｍａｒｃｈｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ； ｅｎｒｉｃｈｍｅｎｔｆｕｎｃｔｉｏｎｓ 有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意 几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。 但是，在求解 一些特殊问题，特别是间断问题时，有限元方法存在着某些固有的缺陷。 例如：（１）有限元采用的是连续性 的位移近似函数，对于裂纹类强间断问题，为获得足够的计算精度，需要对网格进行足够的细分，计算量极 大。（２）在采用拉格朗日法求解金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局部剪切等涉及特大变形问题 时，有限元网格可能会产生严重扭曲，使计算精度急剧下降甚至计算无法继续，因此，需要不断地进行网格 收稿日期：２０１０－０９－１３ 基金项目：中国工程物理研究院科学技术发展基金（２０１０Ｂ０２１０２４） 作者简介：郭历伦（１９７９－），男，四川泸州市人，助研，博士研究生．研究方向：冲击动力学．Ｅｍａｉｌ：ｇｌｌｃｒ＠１６３．ｃｏｍ 通讯作者：陈忠富，研究员．研究方向：结构动力学．Ｅｍａｉｌ：ｃｈｅｎｚｆ２００７