数学建模训练题1--火车上餐饮问题2.docVIP

列车售餐价格问题 摘要 列车要的就餐问题一直是一个棘手的问题，服务方依靠得天独厚的优势以高出市场几倍价格出售食品，简直就是暴力垄断。而乘客往往有一个价格承受上限，随着价格的继续增加，超过这个上限，乘客将会放弃购买，往往会自己自带食物如方便面、面包等。所以，服务方的销售效益会随着乘客的购买量以及销售价格而变化。对于这个问题，我们建立一个数学模型，在这个模型中，我们将售价、需求量、成本作为数学决策变量，将利润作为目标函数，在约束条件下，求出利润的最大值。 在问题中我们利用微分方程，先找出早餐、盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系，设分别为价格上涨时，早餐、盒饭和方便面的销售量单位价格减少率。分别为早餐、盒饭和方便面的成本价。根据微分方程模型，得到早餐、盒饭和方便面的销售量与其相应价格之间的函数关系为：，，。同时，我们假设q0=5;q1=10;q2=3;均为市场价格。此时餐饮均是需求大于供给，所以此时为最大需求量x0=500;y0=200;z0=100。 可得利润： 由于我们不知道销售量减少率，因此，我们可以通过市场调查得出减少率的稳定值。最后可以算出最大利润。 关键词：微分函数 matlab 一、问题重述 长途列车由于时间漫长，列车需要为乘客提供基本一日三餐服务。由于列车上各方面的成本高，因此提供车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格为15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食物如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食物，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。且列车容量有限，只能提供有限的餐量，适当提高价格是可以的，但不能高的过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可以提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。 二、问题分析 根据我们的认知，商品价格越低，人们买的欲望越高，人们的需求量越大。因此，价格与需求量之间存在着反向变动的关系，也就是在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少。火车上快餐的供给量有限，火车上乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了供给量，从而出现了供不应求的现象。如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获得利润。因此，他们要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客慢慢减少了对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量就越小，直到达到两者的平衡点。而选择火车快餐的群体一般是那些收入较高的群体。 三、问题假设 1、列车上早餐可以供给500份； 2、列车上除早餐外，午餐和晚餐只提供方便面与盒饭两种食物； 3、列车上食物的成本价为市场价格； 4、每位乘客早餐只需要早餐、午餐及晚餐只需要一盒盒饭或一袋方便面； 四、符号说明 C 一份早餐的销售价格 C1 一份盒饭的销售价格 C2 一袋方便面的销售价格 早餐上涨时，单位价格销售量减少率 盒饭上涨时，单位价格销售量销售量减少率 方便面价格上涨时，单位价格销售量减少率 X(c) 早餐价格为c时，早餐销售量 Y(c1) 盒饭价格为c1每餐盒饭销售量 Z(c2) 方便面价格为c2时，每餐方便面销售量 早餐成本价 盒饭成本价 方便面成本价 W 总收入 W3 纯利润 五、模型建立与求解 因为在火车上，餐饮量不会受到外界多大干扰，所以每餐的销售量不会有太多偏差。因此，我们可以对一顿饭做相应研究，从而得到最大收益。 1.销售量与销售价格之间的函数关系： 当早餐价格由c上涨到c+时，单位价格销售量减少率为： 整理得： 进一步推导得： 当c=q0时销售量x(c)=x0,于是可以建立如下方程： 则该初值问题的解为： 当c为早餐成本价时，需求量大于供给量，因此所有的早餐都卖光，此时x(c)=500,则函数方程为： X(c)大体图像如下： 图像如下： 因为：收入=销售价格*销售量,所以， 在此假设q0=5;q1=10;q2=3;均为市场价格。此时餐饮均是需求大于供给，所以此时为最大需求量x0=500;y0=200;z0=100;可得： 要求w3的最大值，即是求w0,w1,w2的最大值，则分别对上述方程一次求导，得： 由此要知道最大收入，就要知道销售量减少率，求列车快餐的最大收入，可以运用调查问卷的方法来确定销售量减少率、和的值。 例如：若早餐销售量单位价格减少率，则制定早餐价格c=5元,早餐收入为：2500元，盒饭销售量单位价格减少率为，则制定盒饭价格为20元，此时盒饭收入为4840元：，方便面销售量单位价格减少率为，则制定方便面价格为4元，此时方