弹性力学第二章平面问题理论.pptVIP

第二章 平面问题基本理论 本章任务 两类平面问题的定义和区分 基本方程的建立 平面问题中一点的应力状态 边界条件的建立、圣维南原理 按位移和按应力求解方法 应力函数 §2.1 平面应力问题和平面应变问题 空间问题简化 平面问题 平面问题分为： ——平面应力问题 ——平面应变问题1 ,2 两类平面问题的区分: 两类平面问题的区分: §2.2 平衡微分方程 平面问题中的平衡微分方程： §2.3 几何方程 平面问题中的几何方程： 证明： 形变和位移间的关系 刚体位移 §2.4 物理方程 思考题: 答案: §2.5 平面问题中一点的应力状态 设经过P点的某一斜面上的切应力为零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，而该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（也即主应力的方向）称为P点的一个应力主向。 小 结 物体内的应力是与作用面有关的，前面经常提到基本位置函数 ， ， 只是表示一点的 x , y 坐标面上的应力分量。在校核强度条件时，还要求求出通过此点的任一斜面上的应力。斜面上的全应力 p 可以分解为沿坐标方向的分量（ ， ）或沿斜面法向、切向的分量（ ， ）。 1、首先求斜截面应力分量（ ， ）由三角形微分体的平衡条件可得 2、分别计算（ ， ）在斜面法向和切向的投影，求得斜面上的正应力和切应力： 3、求出主应力和应力主向 4、进一步求出最大和最小的正应力和切应力，设 ，则有： §2.6 边界条件 §2.7 圣维南原理及其应用 圣维南原理 §2.8 按位移求解平面问题 §2.8 按位移求解平面问题 §2.9 按应力求解平面问题 2、按应力求解平面问题（平面应力问题），取应力分量 和 为基本未知函数，且应力分量必须满足下列全部条件： (1) 平衡微分方程 小 结 1、按位移求解平面问题（平面应力问题），取位移分量u和 v为基本未知函数，u和 v 必须满足下列全部条件： (1)用位移表示的平衡微分方程 2、按应力求解平面问题（平面应力问题），取应力分量 和 为基本未知函数，且应力分量必须满足下列全部条件： (1) 平衡微分方程 §2.10 常体力情况下的简化 应力函数 §2.10 常体力情况下的简化 应力函数 2、按应力求解平面问题（平面应力问题），取应力分量 和 为基本未知函数，且应力分量必须满足下列全部条件： (1) 平衡微分方程 常体力情况下的简化 应力函数应满足的条件 小 结 1、常体力情况下，相容方程简化为（调和方程） （c） 对应的齐次方程为: 弹性力学问题中偏微分方程组的求解一般都很复杂，英国数学家艾里对此进行了研究，给出了一种简化的解法。 艾里（G.B.Airy） （1801-1892） 英国数学家、天文学家 1862年，发表了关于弹性力学的平面理论，提出了应力函数解法。 求解: 设函数 ,根据微分方程理论，在二阶混合偏导数连续的条件下,该函数对 x , y 的二阶混合偏导数具有相容性，即 求导结果与求导次序无关。 根据这一性质，假如函数C和D满足: 则一定存在某一函数 f ，使得 , 将齐次微分方程组（c）的第一个方程改写为 由上述分析可知，一定存在某一个函数 ，使得下面两式成立 ， 同理，将齐次微分方程组的第二个方程改写为 则一定也存在某一个函数 ，使得 ， 考察方框内公式，可以很显然得到： 再次应用偏导数的相容性 必然存在某个函 数 ，使得 将A、B代回 、 、 的表达式可得： 将A、B代回 、 、 的表达式可得： 齐次方程的通解 ， ， 将此通解与任一组特解相叠加，即得到平衡微分方程的全解： ， ， 3、将用位移分量表示的应力分量代入区域内的平衡微分方程，得到用位移分量表示的平衡微分方程： 在 上的位移边界条件仍然表示为： y O x h 例题(p25)：上端为固定,下端为自由,受自重体力: y O x h 例题(p25)求解：本例问题可简化为y方向上的一维问题，设：u=0,v=v(y),泊松比μ=0，代入位移分量表示的平衡方程： y O x h 例题(p25)求解：本例问题可简化为y方向上的一维问题，设：u=0,v=v(y),泊松比μ=0，代入位移分