跟爱情有关的数学-HKU.PDF

Enriching Knowledge for the Senior Secondary Mathematics Curriculum Series : (1) Applications of Mathematics –Mathematics in Love 談情說數  跟愛情有關的數學 吳端偉博士 香港大學數學系 2013年11月18日 什麼是愛情? 蘇格拉底(Socrates ) 柏拉圖(Plato) 428/427 BC – 469 BC – 399 BC 348/347 BC •有一天，柏拉圖問他的老師蘇格拉底： 什麼是愛情？我如何可以找到它？ 什麼是愛情? •蘇格拉底回答說：“在前面有一個麥田。你要向前不 回頭地走，在途中要摘一棵最大最好的麥穗，但只可 以摘一次 ，如果您發現最大最好的麥穗，那麼你已經 找到愛情。” 什麼是愛情?  柏拉圖向前走去，過了半天他仍沒有回去，最後， 他兩手空空垂頭喪氣地出現在蘇格拉底跟前，訴說 空手而回的原因: 「很難得看見一株看似不錯的，卻不知是不是最好， 因為只可以摘一次，只好放棄，再看看有沒有更好的， 到發現已經走到盡頭時，才發覺手上一棵麥穗也沒 有。」 這時，蘇格拉底告訴他： 「那就是愛情。」 Clio Cresswell (The University of New South Wales Sydney, Australia): “If you meet someone who is really great, how do you know you won’t meet someone who is really, really great?” 怎樣才可捕捉到條件最好的男人？  假設你在未來二十年內，會遇到N個男人追求你， 他們一個接一個的出現，但你不知道什麼時候最 好的男人會出現。 當一個追求者出現時，你要決定是否拒絕他， 假設你拒絕了他，他將一去不返 。 怎樣才可捕捉到條件最好的男人？ 最後假設最好的男人在任一位置出現的概率相同。 •你應拒絕頭37％出現的追求者。 •但你應對這0.37N個男人逐一評估，找出並記下當 中質素(得分) 最高的一個。 然後在餘下0.63N個追求者中，選擇第一個 得分高過頭37％中最高分的一個。 這個37％的策略將最大限度地提高你找到 最好的男人的機會。 37％策略 成功 不成功 x％策略 當x太大時，容易拒絕條件最好的男人。 當x太小時，抽取的樣本太小，容易太早接受 條件差的男人。 應該選擇哪一個x ? 當x=37時，能捕捉到條件最好的男人的概率最 大。 x％策略 VS 37％策略 當x=37時，能捕捉到條件最好的男人的概率最大 證明:  假設有N個男人並且最好的男人(A)在任一位置 出現的概率相同。  根據假設，A在任一位置k 出現的概率為1 / N 。  假設頭s (s N) 個追求者將被拒絕 。  假設C是頭k-1個最好的追求者。 捕捉到A 的概率?