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矩阵函数 矩阵分析－研究生课程 矩阵的多项式表示与矩阵的极小多项式 n×n x 定义1：已知A ∈C 和关于变量 的多项 式 f (x ) =a x n +a x n−1 + L +a x +a n n−1 1 0 那么我们称 f (A ) =a A n +a A n−1 + L +a A +a I n n−1 1 0 A 为 的矩阵多项式。 A n 设 为一个 阶矩阵， 为其Jordan标准形，则 J A = PJP − 1 = Pdiag(J ,J ,L ,J )P − 1 1 2 r = Pdiag(J (λ ), J (λ ),L , J (λ ))P− 1 1 1 2 2 r r 于是有 f (A ) =a A n +a A n−1 + L +a A +a I n n−1 1 0 = a (PJP− 1)n + a (PJP− 1)n−1 + n n−1 L + a (PJP− 1) + a I 1 0 = P (a J n + a J n−1 + L + a J + a I )P − 1 n n−1 1 0 = Pf (J )P − 1 = Pdiag ( f (J ), f (J ),L , f (J ))P − 1 1 2 r 我们称上面的表达式为矩阵多项式f (A ) 的 Jordan表示。其中 ⎡λi 1 ⎤ ⎢ λ O ⎥ J (λ ) = ⎢ i ⎥ (i = 1,2,L ,r ) i i ⎢ O 1⎥ ⎢ ⎥ λ ⎣