直线的参数式.PDFVIP

直線的參數式 建國中學‧林信安 老師 3-2-1 直線的參數式 坐標平面上可以用二元一次方程式來表示直線，只要能知道斜率與直線上一點，就可以 求得直線的方程式（鉛直線例外）。斜率代表直線的傾斜程度，換句話說，斜率描述了「直線 的方向 」，因為向量同時具有大小與方向，所以可以用向量來描述直線的方向。 線的方向向量 若一個向量的始點與終點是一直線上的相異兩點， 則此向量稱為該直線的一個方向向量 。 B 即直線 L 上有兩相異點 A(x ,y ) ，B(x ,y ) ， 1 1 2 2 A 則=(x x ,y y )為直線 L 的一個方向向量。 2 1 2 1 1 3 如圖所示，、3 、、4 、……都是 L 的方向向量，因此方向向量並不是只有一個，它們 都是互相平行的向量，但不可以是零向量。 練習 1 設 A ( －3 ，2 ) ，B ( 1 ，1 ) ，試寫出直線AB 的一個方向向量。 直線參數式的向量表示法 在坐標平面上，斜率描述直線的方向，例如：斜率 = 5 的直線會有無限多條，但是它們 的方向是一致，彼此互相平行。 在坐標平面上，以非零向量 為方向向量的直線有無限多條，但是它們的方向是一致的， 而且互相平行，其中恰有一條直線 L 通過給定的 A 點。 因此給定 A 點與一非零向量 ，通過 A 點且以 為方向向量的直線恰有一條。 如何用向量的形式來表示直線上的點呢？ P 點為直線 L 上任一點， ⇔ AP // 。 ⇔存在實數 t ，使得＝t 1 而 AP ＝t 可以寫成 OP OA= t ，即OP =OA ＋t 。 直線 L 上的每一點 P 恰對應一個實數 t ；而每一個實數t 也恰對應直線 L 上的一點 P 。此 式即為直線 L 參數式的 向量表示法 ，其中t 稱為參數 。 當 t ＝0 時，P 點就是定點 A ； 當 t ＝1 時，P 點就是右圖中的 B 點； 當 0 t  1 時，P 點構成的圖形就是線段 AB ； 當 t  0 時，P 點構成的圖形就是射線 AB 。 [運動的觀點來解釋參數式] 假設某運動質點以等速度 持續作直線運動，當時間 t ＝0 時，它的位置在 A 點，而且 在到達 A 點之前，它已在運動，那麼該質點的運動軌跡就可以用向量表示如下： OP =OA ＋t 表示速度。 其中參數 t 表示時間，方向向量 練習 2 如圖，已知 OP ＝OA ＋t v 為直線 L 參數式的向量表 1 示法，試在 L 上分別描出對應於參數 t ＝－1 ，－ 2 ， 3 2 ，2 的 P 點位置。 直線參數式坐標表示法 將方向向量 與直線上一點 A 坐標化之後，可以將直線的參數式用坐標的形式來表示。 設直線 L 的方向向量 =(2,3) ，又過點A(1,2) 設 P(x ,y )為直線 L 上的任意點  AP // ， AP = t ，t 為實數  OP  OA = t ，t 為實數（O 為原點）