第7章节数值微积分1课件(4089KB).pptVIP

时称为柯特斯公式 当 其中， 截断误差 牛顿-柯特斯公式的截断误差（即余项）为 当 时，梯形公式的截断误差为 如果 连续， 辛普森公式的截断误差为 柯特斯公式的截断误差为 * * 在许多实际工程中，直接或间接地涉及计算导数和计算定积分.在这些微分积分的计算过程中存在如下一些问题： 1、牛顿—莱布尼兹公式 大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数； 例如，积分 2、当 微积分理论无法精确求积分，也无法精确求导数. 是由测量或数值计算给出的一张数据表时， * 对于计算导数的问题，从导数定义想到用差商近似的算 法，即 虽然这种近似计算的精度较差，但是它启示我们可以用两个 点上的函数值来近似求导，如果用有限个点上的函数值，能 否建立一个求导公式并估计误差呢？这是数值微分研究的问 题. 需要研究的问题： 从几何方面看，公式（7.1）表示以区间 的长度为底而高为 恰等于 在 边梯形的面积，见图7-2.问题在于 一般是不知道的，因而难以准确算出 的值. 区间 只要对平均高度 数值求积方法.如果近似地取 . 上的积分值，即曲 的具体位置 称为 提供一种算法，相应地便获得一种 对于计算定积分的问题，根据积分中值定理：存在点 使 . （ 7.1） 图7-2 矩形公式几何意义 的矩形面积， 上函数的平均高度， 如果近似地取 则由公式（7.1）得梯形公式，几何 意义见图7-3. 图7-3 梯形公式几何意义 则公式（7.1）称为中矩形公式 如果取 上有限个节点 的函数值 的加权平 ，则公式（7.1）称为机械求积公式 （7.2） 称为求积节点， 称为求积系数. 仅仅与节点 的选取有关，而不 的具体形式. 均值为 其中 依赖于被积函数 问题: 的位置并确定求积系数 才能使求得的积分值具有预先给定的任意的精确度？ (2)怎样估计数值计算的误差？ (1)如何安排求积节点 寻找便于数值计算，又能满足精度要求的微积分公式和方法. 数值积分与数值微分的基本内容： 复习：拉格朗日插值多项式 一、满足插值条件 Pn(xi)=f(xi), ( i=0,1,2,…,n) n次插值多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn 存在而且惟一。 二、Lagrange插值多项式： 称为Lagrange插值基函数。 三、插值余项: Rn (x)= f (x) - Pn (x)= 7.2 牛顿-柯特斯求积公式 上取定 个点 ，经过这些点作插值多项式，用插值多项式 ，进而确定 如果利用Lagrange插值多项式 型求积公式 其中 插值型求积公式的基本思想：在 7.2.1 牛顿-柯特斯求积公式 代替被积函数 ，则有插值 (7.3) 等距节点情形:将区间 划分为 等分，步长 ，选取等距节点 ，此时， 即记 将其代入公式（7.3），得到牛顿-柯特斯公式 其中 称为柯特斯系数， . （7.5） ， （7.4） 对不同的 ,柯特斯系数可按公式（7.5）计算. 当 时（有两个等距求积节点）， 相应的求积公式就是梯形公式 当 时（有三个等距求积节点）， 相应的求积公式就是辛普森公式 （7.7） （7.6） 时的牛顿-柯特斯公式则特别称为柯特斯公式 当 其中， （7.8） 柯特斯系数的部分数据见教材104页表4-1. 【注】 这是因为 此式成立.这说明：求积系数与被积函数、节点的选取均无 关，其和恒为1. 时， 出现负值，计算不稳定，故不能应用 的牛顿- 时，公式（7.4）精确成立，因此必有 （2） 根据表7-2，当 柯特斯系数 柯特斯公式. （1） 柯特斯系数的和恒为1，即 7.2.2 截断误差 上 个等距节点 ，得到 的插值多项式 .由于 ，因此 牛顿-柯特斯公式的截断误差（即余项）为 （7.9） 已知 当 时，梯形公式的截断误差为 注意到 ，若要求 连续，根据 中值定理，则有梯形公式的截断误差 返回例1 如果 连续， 辛普森公式的截断误差为 （7.11） 返回例1 证明：辛普森公式的代数精度是 令 为 的三次埃尔米特插值多项式，满足插值条件： 对多项式 辛普森公式精确成立，即 从而 由积分中值定理得： 柯特斯公式的截断误差为 可以证明，只要 充分光滑， 牛顿-柯特思 其中 公式的余项为 例1 计算积分 ，并估计误差. 由于 ，所以 ，于是，梯形公式的误差 2） 用辛普森公式计算， 由于 ，于是，辛普森公式的误差 解 1） 用梯形公式计算 【注】 时，梯形求积公式准确成立； 即梯形公式对一次多项式准确成立， 是 （3） 数值求积方法是一种近似方法，因此，要求求积公式 作为衡量公式逼近好坏的标准之一，下面给出代数精度 的概念. 时，辛普森公式准确成立. （