勾股定理16种经典证明方法精品.docVIP

勾股定理的证明　 王思勇编　 【证法1】（课本的证明）　　 ?　 ?　 ?　　 ?　　　?　 ?　 ?　　 ?　 　　　　　　　　　， 整理得 .　　　2】（邹元治证明）　　　 a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.　　　∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, 　　　 AHE = ∠BEF.　　　 AEH + ∠AHE = 90o,　　　 AEH + ∠BEF = 90o.　 HEF = 180o―90o= 90o.　　 EFGH是一个边长为c的　 . 它的面积等于c2. 　　 RtΔGDH ≌ RtΔHAE, 　　 ∴ ∠HGD = ∠EHA.　 HGD + ∠GHD = 90o,　　 EHA + ∠GHD = 90o.　　　 GHE = 90o,　　 DHA = 90o+ 90o= 180o.　　　ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于.　　 . ∴ .　　 【证法3】（赵爽证明）　　 以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜　　　. 把这四个直角三　　　. 　 RtΔDAH ≌ RtΔABE, 　 ∴ ∠HDA = ∠EAB.　　 HAD + ∠HAD = 90o，　 EAB + ∠HAD = 90o，　　　 ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.　　　 EF = FG =GH =HE = b―a ,　 ∠HEF = 90o.　　　 EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.　　 .　 ∴ .　 【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）　 以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. 　　　RtΔEAD ≌ RtΔCBE, 　 ∴ ∠ADE = ∠BEC.　 AED + ∠ADE = 90o,　 AED + ∠BEC = 90o. 　　　 EC = 180o―90o= 90o.　 ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，　 .　　 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,　　 AD∥BC.　 ∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于.　 .　 ∴ .　 【证法5】（梅文鼎证明）　　　a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　 ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,　　　 EGF = ∠BED，　　 ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， 　　 BED + ∠GEF = 90°，　　 BEG =180o―90o= 90o.　　　AB = BE = EG = GA = c，　 ABEG是一个边长为c的正方形. 　　 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o.　 RtΔABC ≌ RtΔEBD,　 ABC = ∠EBD.　　 EBD + ∠CBE = 90o. 　 ∠CBD= 90o.　 BDE = 90o，∠BCP = 90o，　　　BC = BD = a.　　 BDPC是一个边长为a的正方形.　　　HPFG是一个边长为b的正方形.　　　 GHCBE的面积为S，则　　　 　　 　　 .　　 ?　 【证法6】（项明达证明）　 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　　　 B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　 FFN⊥PQ，垂足为N. 　 BCA = 90o，QP∥BC，　　　 MPC = 90o，　　　 BM⊥PQ，　　　 BMP = 90o，　　　 BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o.　　 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o，　 ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o，　　　 QBM = ∠ABC，　 BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ = BA = c，　　　 RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.　　 RtΔQNF ≌ RtΔAEF.　　　 4】（梅文鼎证明）.　　　7】（欧几里得证明）　　　 a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　 BF、CD. 过C作CL⊥DE，　　 AB于点M，交DE于点　　 L. 　　　 AF = AC，AB = AD，　 FAB = ∠G