多变数函数及偏导函数.PDFVIP

第九章 多變數函數及偏導函數 第 9.1節 多變數函數之極限與連續* 當一個圓柱體的底半徑為 r ，高為h時，其表面積為 A 2r 2 2rh 。明顯 的表面積是底半徑與高的函數，亦即 A A(r , h) 2r 2 2rh ，此為二變數函 數。當一個長方體的長為 x ，寬為y ，高為z時，其體積為 V xyz 。明顯的體積 是長、寬與高的函數，亦即 V V( x, y, z) ，此為三變數函數。由上述例子可以了 解：二變數實數值函數乃由 D 2映至 R的函數；又三變數實數值函數乃 (D R ) 由 D 3映至 R的函數。變數個數大於等於 2 之函數稱為多變數函數。 (D R ) 有關多變數函數間之運算如和、差、積、商、常數積等之做法與性質，其實 與單一變數函數是雷同的，不再贅述。本章著重在極限、連續、偏微分及求極值 上。 定義9.1.1 極限 設 f (x ,y )為二變數函數，(a, b) 為某一點(未必在f 之定義域中) 。若對任一  0  (x a)2 (y b)2  正數 而言，恆存在一 使得當點 滿足 時，均  0 (x, y ) 可推得 f (x ,y ) L  ，則 在點 (a, b)之極限存在，且值為L ，記為 f (x ,y ) lim f (x , y ) L 。 (x ,y )(a ,b ) 說明 ： (1)滿足 0  (x a)2 (y b)2 所有點 所成之集合即以點 為圓心半 (x, y ) (a, b) 徑為 之圓的內部，但不包括點 。特別須注意討論 在 處之  (a, b) f (x ,y ) (a, b) 極限時，是不在意 f (x ,y )在 (a, b)處之實際情況。這指 (a, b) 未必在定義域中 ； 再者，即使 f (a ,b )有定義，也與 L 無關。 (2)在討論單一變數函數之極限時，曾介紹單邊極限。在討論變二數函數之極限 時，也有類似的情況。我們可以考量從各個不同方向來探討逼近的趨勢 即極( 限 ) 。如果有兩個方向逼近的趨勢不相同，則函數的極限不存在見例( 3 與例4) 。 (3)如果為三變數函數，則討論的範圍為0  (x a )2 (y b)2 (z c)2  ，即以 (a, b, c)  (a, b, c) 點 為圓心半徑為 之球的內部，但不包括點 。 對二個多變數函數而言，若二個函數之極限均存在，則二者之和(差、積、 商的極限亦存在，同時等於二者之極限的和) (差、積、商) 。 xy 1 例 1. 求 lim 。 (x ,y )(1,1) x  y 2 110 解： lim xy