多元复合函数的求导法则t.PDFVIP

第四节 多元复合函数的求导法则 一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理 如果函数u (t)及v  (t)都在点 t可 导，函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏 导数，则复合函数z f [(t), (t)]在对应点 t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv    . dt u dt v dt 证略 u t z v t 类似地,若中间变量为三个,z f (u, v, w) ,u  (t) , v  (t) , w (t) ,则复合函数z f [(t), (t),(t)] 的导数为 dz z du z dv z dw      . dt u dt v dt w dt u z v t w dz 以上公式中的导数 称为全导数. 全导数. dt t dz 设 , ,求 . 例1 z uv u e , v cos t dt dz z du z dv 解    dt u dt v dt t ve  u(sin t) t e (cos t sin t) . 2 x dz 例2 设 z u  v, u sin x, v e ,求 . dx dz z du z dv 解    dx u dx v dx 2ucos x  ex sin 2x  ex . 二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形. 定理 设 z f ( u, v) 具有连续偏导数, u  ( x, y) , v  (x, y) 可偏导,则复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 可偏导, 且有 z z 