复变函数的导数与解析性2课时.PDFVIP

第一章 第三节 复变函数的导数与解析性（2 课时） 一、学习目标 掌握复变函数导数的定义、导数的几何意义、解析函数的定义、判断一个复 变函数是否可导或是否解析的判据（充要条件）以及解析函数的性质（如保角性、 解析函数实部与虚部的联系等）。 二、导学 1、复变函数导数的定义：形式上和一元实函数的导数定义是类似的，即 f (z z ) f (z ) f (z ) lim z 0 z 微分的定义和高等数学里面一元实函数的微分定义也相似，而且可导和可微 是等价的，有 df (z ) f (z )dz 。 2. 复变函数可导的条件：柯西－黎曼条件 u v u v , （C-R 条件） x y y x 这是函数可导的必要条件，但不是充分条件。 3．复变函数导数的几何意义 4．解析函数：在区域G 内每一点都可导的函数，称为G 内的解析函数。称 函数f(z) 在z 0 点解析，是指在z 0 点的一个邻域内处处可导。 5．判断复变函数解析性的判据 定义在区域G 内的单值函数w f (z ) u(x ,y ) iv(x ,y ) 在G 内解析的充要条 件是 u(x , y ) 和 v(x , y ) 在G 内可微，且满足C-R 条件。 6．奇点：如果一个函数在某点z 0 不解析，则称z 0 点为函数的奇点。 7．保角映射：解析函数的性质之一。 三、重点、难点指导 解析函数是复变函数论的核心，它具有一些特别的性质（包括以后将要讨论 的解析函数的积分、级数展开），解析函数在物理中有很多应用。 1．复变函数与一元实变函数形式上的相似性与含义上的差别：一元实变函 数的导数，极限中x 0 的方式只有从大于零或小于零两种，而复变函数导数 定义中z 0 的方式是任意的。正是这一任意性，导致了解析函数的一些重要 性质。 2．复变函数可导的必要条件：柯西－黎曼条件。此条件也表明了解析函数 所具有的特性之一：解析函数的实部与虚部不再独立，而是通过柯西－黎曼条件 联系起来。 3.判断复变函数解析性的判据：通过复变函数的实部与虚部（两个二元实变 函数）是否具有连续的一阶偏导数？是否满足C-R 条件？由此也可以看到复变函 数与二元实变函数的紧密联系。 4.解析函数的应用：平面场的复势。（参见§3-6 保角映射的应用：保角变换 法） 5.奇点:不解析的点。这是从解析含义的对立面来理解解析性。 四、典型例题 例1：设 f (z ) xy ，问f (z) 在z = 0 点是否满足C –R 条件？是否可导？ 解: 由题设得 u xy , v(x , y ) 0 u(x x , y ) u(x , y ) x 0 0 ux |x =0 lim |x =0 lim 0 y =0 x 0 x y =0 x 0 x 又因为v | =0 0,v | =0 0 ，故 v(x , y ) 0 ，可见 f (z)在z ＝0 点满足C –R 条件。 x x y x y =0 y =0 (2)让Δz 以任意方式趋于零，如让Δz 沿径向趋于零，即令z eij r (见下 ) f z f z f x y ( ) (0 ) (0)