[数学]第一章、行列式.pptVIP

第 一 章 二阶与三阶行列式 全排列及其逆序数 n 阶行列式的定义 对换 行列式的性质 行列式按行（列）展开定理 克拉默法则 引入行列式的定义后，二元一次线性方程组的解可以用二阶行列式表示。 当i?j,将式中ajk换成aik(k=1,2,…,n),可得 同理可证 代数余子式的重要性质: 例4 已知 求（1） (2) §7 克拉默法则 与二元，三元方程组相似，n元 线性方程组 例4 证明 上面的行列式中，未写出的元素都是0。 证: 行列式的值为 若乘积非零，j1j2…jn只能是排列n(n－1)…2 1， 它的逆序数为 所以行列式的值为 例如 而 例 5 证明 利用行列式的定义去计算行列式，显然是 很麻烦的．对于阶数较高的行列式这样去计算 几乎是不可能的，所以我们有必要去研究行列 式的性质和找到能够比较快地进行计算的方法． §5 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等 。 行列式DT 称为行列式D的转置行列式。 即： 证： 记 即bij＝aji (i，j＝1，2，…，n) 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。 证 交换第p、q两列，得行列式 对于D中任一项 在D1中必有对应一项 与 只经过一次对换 所以对于D中任一项，D1中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D1的项数相同。 推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，则行列式为零。 性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式。 性质4 行列式中若有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。 推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面。 性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如 则行列式D等于下列两个行列式之和： 性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数k乘以第i行上的元素加到第j行对应元素上，有 例1 求 =(。。。=0) 解：原式 例2 计算四阶行列式 解　观察此行列式知，它具有以下特点：各 行的元素之和都相等．因此，把第２，３，4行都 加到第１行上，提取公因子，然后各行减去第1行， 得 例3 求 例 4 计算行列式 例5　 证明 例6 证明： 证明 例7　 证明 推论1 推论2 例7 计算 依次换行列就可以得 §6 行列式按行（列）展开定理 定义 n阶行列式中，划去元素aij所在的行和列，余下的元素按其原有的位置构成的n－1阶行列式叫做元素aij的余子式，记为Mij 。 Aij叫做元素aij的代数余子式。 显然，Aij与行列式中第i行、第j列的元素无关。 （先观察上节例1 P41） 引理 n阶行列式D，如果其中第i行元素除aij外全部为零，则行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即D＝aijAij 证 先证i＝1，j＝1的情形 设 D 的第 i 行除了 外都是 0 . 把 D 的第 行依次与第 行，第 行，······ 第2行，第1行交换；再将第 列依次与第 列 第 列，······， 第2列，第1列交换，这样共经过 次交换行与交换列的步骤. 对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。 得 定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 例1 同样的道理和方法，计算 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证明 用数学归纳法 (1)当n=2时, 结论成立. (2) 设对n－1阶范德蒙德行列式结论成立，来证对n阶范德蒙德行列式结论也成立. n-1阶范德蒙德行列式 证毕. 推论 行列式一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 证 * * 行 列 式 设二元线性方程组 a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2 (1) (2) §1 二阶与三阶行列式 回忆中学: 用消元法解方程组， 定义3.1 二阶行列式 注：二阶行列式是一个数。 当 时， 为了简洁明了的表示以上结果，我们引进一个符号 方程组有 唯一解： 当 时，有 同样，可以用消元法求解三元一次线性方程组