[数学]4、函数极限的无穷大、小量3.pptVIP

则称?(x)和?(x)是同阶无穷小量, 即 因此，当x → 0时3x和x是同阶无穷小量 记作, ?(x)= O(?(x)) 则称? (x)是?(x)的高阶无穷小量， 或称 ? (x)是? (x)的低阶无穷小量. 即 因此，当x → 0时， x2是x高阶无穷小量 则称?(x)和?(x)是等价无穷小量, 记作, ?(x) ~ ?(x) 显然, 若?(x) ~ ?(x), 则? (x)和?(x)是同阶无穷小量, 但反之不对. ，即 因此，当x → 0时sinx ~ x是等阶无穷小量 简记，sinx ~ x 比如, (i) (ii) (iii) n 10 0.1 0.01 0.2 0.105 100 0.01 0.0001 0.02 0.01005 1000 0.001 0.000001 0.002 0.0010005 … … … … … 当x?0时, sinx ~ x, tgx ~ x, arctgx ~ x, arcsinx ~ x, ex–1 ~ x, ln(1+x) ~ x, 常用的等价无穷小. 定理1. 设?(x), ? ?(x), ?(x), ? ?(x)是某极限过程中的无穷小量. f (x)是另一变量, 且, ? (x) ~ ? ?(x), ?(x) ~ ? ?(x), 则 只须右端极限存在或为无穷大. 证: (1) ?(x) ~ ? ?(x), ?(x) ~ ? ?(x), 因为 类似可证(2), (3). 所以 由于当x?0, tgx ~ x, x3+ 3x ~ 3x 例1. 解: 故, 例2. 解: 由于当x?0, tgx ~ x, 从而tg2x ~ 2x. 当x?0, sinx ~ x, 从而sin5x ~ 5x. 故, 例3. 解: = 0 或, = 0 ·1= 0 例4. 解: = 1 事实上, 若作代换, 有 显然, 这个结果是错误的. 特别注意：如何分子或分母若干项之代数和，则一般不能对 其中某个加项作等价无穷小替换，必须把分子或分母化成乘 积形式，才能进行等价无穷小替换。 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 3、无穷小量的运算定理 2. 无穷小与无穷大的关系 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 4、无穷大量的运算性质 5、无穷小量的比较 思考与练习 1、指出下列各题中，哪些是无穷大量，哪些是无穷小量 2、下列函数在什么情况下是无穷小量，什么情况下是无穷  大量 3、利用等价无穷小的替换性质，求下列函数极限 * * * LISP 主导国际科技专家 Leading International Scientific Professional PAIK (HONGKONG) GROUP HOLDING LIMITED 则称f (x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去x?xo , x??的极限符号“ lim” 表示任一极限过程). 定义1. 若lim f (x)=0, 第二节　无穷大量、无穷小量 一、无穷小量 例： 当 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 时为无穷小. 又如： 注2： 注3：0是任何极限过程的无穷小量. 由于limC = C(常数), 所以, 除0外的任何常数不是无穷小量. 注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量, 小量, 但 如sinx是x?0时的无穷 是该极限过程中的无穷小量. A为常数. ??0, ?? 0, 当0|x – x0|? 时,有|f (x) –A| ? 定理1. 证： 类似可证x??时情形. 定义2：若?? 0(无论多么大), 记作： ?? 0(或?X0), 当0|x–xo|? (或|x|X)时，有|f (x)|M, 则称f (x)是x? x0(或x? ?)时的无穷大量. 二、无穷大量 例： 当 函数 当 时为无穷大量; 函数 时为无穷大量; 函数 当 时为无穷大量. 故： 若以“ f (x)M ”代替定义中的 “|f (x)|M ”, 就得 到正无穷大量的定义. 若以“ f (x) – M ”代替定义中的 “ |f (x)|M ”,就得到负无穷大量的定义. 分别记作： ?? 0, ?? 0(或?X0), 当0|x–xo|? (或|x|X)时，有|f (x)|M, 0 1 -1 1 x x y y x?1+ x?1– 例1： 证： 例2: 试从函数图形判断下列极限. 解： (1) x y 0 x y y = tgx x y (2) x o y x x y y x?+? x?–? 注1：若在定义2中，将“ f (x)” 换成“ xn” , 注2：若lim f (x)=?, 将“ X” 换成“ N” , 将“ x??”