[教育学]01研究生数值分析.ppt

* X255=xx2x4x8x16x32x64x128 * * 要计算N+1个行列式，每一个需要n!(n-1)次乘法，计算N+1个行列式共需要(n+1) n!(n-1)次乘法,计算全部的xi需要(n+1) n!(n-1)次乘法，n次除法，总计算量为N=[(n2-1)n!+n]flop。 n=20,N= 9.707?1020flop,换算为时间，设在10亿（109)次/每秒的计算机上工作，则需9.707?1011秒，一天为24×3600 =86400秒，一年为86400 × 365秒， 9.707?1011秒÷86400 × 365秒=30781年（3万多年）。显然方法不可行；但若改用gauss消元法，只需3060flop,即使在一台小型机上，也可在一秒中内完成。 * 在109flop/秒(每秒10亿次）计算机上计算，T= 9.707?1011秒=3万多年。 * 1 计算机数系不同于我们熟悉的实数系 2 在数值计算中，经常将实数表示成浮点形式 * 在计算机中，通常使用二进制机器数系 * 在计算机中，通常使用二进制机器数系 * * * 以上错误,是因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以把某些算式改写成另一种等价的形式. 以上错误,是因为计算机计算时做加减法要 “对阶”,“对阶”的结果使大数吃掉了小数.产生了误差.为了避免由于上述原因引起的计算结果严重失真,可以把某些算式改写成另一种等价的形式. * * 算法2中，第一式的分子中的两项总是同号的，避免相近数相减。 (2) 防止大数吃小数 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果很不可靠. 在上式中，重新排序计算 上式= 0.2+0.4+0.4+ 23456=1+ 23456= 0.00001 ×105+ 0.23456×105=23457 例3:在F(10,5,-119,119)中，计算 23456+0.2+0.4+0.4 上式=0.23456×105+0.000002 ×105+ 0.000004 ×105+ 0.000004 ×105 =23456 * (3) 防止接近零的数做除数 分母接近零的数会产生溢出错误,因而产生大的误差,此时可以用数学公式化简后再做. 四、数值运算中的误差估计3.数值计算中值得注意的问题 * (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数 简化计算步骤是提高程序执行速度的关键，它不仅可以节省时间，还能减少舍入误差。 例4：设A、B、C、D分别是10?20、 20?50、 50?1、 1?100的矩阵，试按不同的算法求矩阵乘积E=ABCD. 解：由矩阵乘法的结合律，可有如下算法 1. E=((AB)C)D. 计算量N=11500flop 2. E=A(B(CD)). 计算量N=125000flop 3. E=(A(BC))D. 计算量N=2200flop * 误差的定性分析法：即研究算法的数值稳定性。 误差的定量分析法： 定义：一个算法如果输入数据有扰动（即 有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则 称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳 定的。 五、算法的数值稳定性 * 据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的: 营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的现象将在那里出现。 连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命令每隔76年才会出现一次。 排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。 误差的传播 例1：计算 ? 公式一： 注意此公式精确成立 记为 则初始误差 ? ?? ? ! ! ! What happened?! 考察第n步的误差 我们有责任改变。 造成这种情况的