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* 第 9 章 杆件结构力学问题的有限单元法 主要内容 9.1 结构有限单元概论 9.2 等截面直杆 – 梁单元 9.3 平面杆件系统 9.4 空间杆件系统 9.5 小 结 9.1 结构有限单元概论 1. 杆系、板壳结构的特点 杆件： h l 沿杆长度方向的尺寸比横截面方向尺寸大得多； 板壳： 沿板（壳）厚度方向的尺寸比板（壳）面内两方向尺寸小得多； 杆、板（壳）的受力是空间分布的； 用实体单元求解的可能出现的问题： （1）当单元划分较大时，常求解方程的病态； （2）当单元划分较小，即空间三维单元三个方向的尺寸大小相近时，其单元数量太大。 （因单元不同方向的刚度系数相差太大） 2. 杆系、板壳结构有限元法的特点 与材料力学、板壳理论类似，引入适当假设，如： （1）杆件 引入假设： 平面保持平面 一维问题 （2）板壳 引入假设： Kirchhoff 假设 二维问题 杆件单元 板壳单元 优点： （1）求解简单； （2）保证求解的顺利进行和精度。 数学理论基础： （1）主从自由度法； （2）相对自由度法。 9.2 等截面直杆 – 梁单元 9.2.1 轴力杆单元 —— 桁架杆单元 x , u O P1（集中力） x1 1. 基本方程 —— 几何方程 —— 物理方程 —— 平衡方程 —— 位移边界条件 —— 力的边界条件 2. 总位能泛函 或 3. 单元特性分析 x x1 xc x2 1 2 u1 u2 l 位移模式： 应变矩阵： 单元刚度矩阵： （9.2.14） 单元等效结点载荷： （9.2.13） 分布力引起： 集中力引起： 其中：Pj —— 沿杆轴线方向集中力大小 类似地，可得3结点轴力杆单元： x x1 xc x2 1 2 u1 u2 l Pj x x1 xc x2 1 3 u1 u3 l 2 u2 类似地，可得3结点轴力杆单元： x x1 xc x2 1 3 u1 u3 l 2 u2 位移模式： 应变矩阵： 单元刚度矩阵： x x1 xc x2 1 3 u1 u3 l 2 u2 单元刚度矩阵： 9.2.2 扭转杆单元 x l M1 θ(x) M2 1. 基本方程 —— 几何方程（单位长度截面扭转角） —— 物理方程， G —— 剪切弹性模量，J ——极惯性矩， —— 平衡方程， m(x) —— 单位长度上作用的扭矩。 —— 位移边界条件（端部给定转角） —— 力的边界条件（端部给定扭矩） 2. 单元的总位能泛函 m(x) Mj 3. 单元特性矩阵 x 1 2 l M1 θ1 θ2 θ(x) M2 Mj 位移模式： 应变矩阵： 单元刚度矩阵： 单元等效结点载荷： 分布力偶引起： 集中力偶引起： 其中：Mj —— 集中力偶大小 x 1 2 l M1 θ1 θ2 θ(x) M2 Mj 说明： （1）基本方程中采用了平面假设，上述讨论仅适用于圆截面情形。对非圆截面需由约束扭转理论解决。 （2）与轴力杆单元比较，除了相应物理量的物理意义不同外，计算公式类同。 9.2.3 弯曲梁单元 1. 基本方程 基本假定： （1）平面保持平面； （2）变形后梁的截面仍垂直于轴线。 几何方程： ——曲率方程 物理方程： 平衡方程： 边界条件： EI —— 梁的抗弯刚度 位移边界条件 力的边界条件 2. 梁单元的总位能泛函 （9.2.26） 3. 梁单元的特性矩阵 单元结点位移： 单元结点力： 单元位移模式： —— 二结点Hermit单元 —— 二结点Hermit单元 3. 梁单元的特性矩阵 单元结点位移： 单元结点力： 单元位移模式： 其中： 应变矩阵： 应变矩阵： 单元刚度矩阵： （9.2.29） 单元等效结载荷： 分布力 q(x) 引起： 集中力 Pj 引起： 集中力 Mk 引起： 当 q = 常数 时， 例： 用经典梁单元求图示悬臂梁在端部分别受集中力偶 M 和集中力 P 时，端部的挠度?（取一个单元）。 解： 1 2 ?2 w2 ?1 w1 单元结点位移： 单元等效结点载荷： 单元刚度矩阵： 总刚度矩阵与总结点等效载荷列阵 单元等效载荷列阵 （1） （2） ——∵只取一个单元 有限元方程： 1 2 ?2 w2 ?1 w1 单元等效载荷列阵 （1） （2） 有限元方程： 情形（1） 引入边界条件： 情形（2） 说明： 取一个单元求解，即得到与材料力学相同的结果。 9.3 平面杆件系统 引 言 平面杆系结构： （1）结构可简化到一个平面内 ； （2）载荷也可简化到该平面内 。 平面杆系结构单元的变形： 1 2 u1 u2 l ?2 w2 ?1 w1 （1）拉压变形 ； （2）弯曲变形 。 每个结点3个自由度，单元共6个自度。 单元结点位移：