研究生计算机图形学第5章技术介绍.ppt

两曲面片拼接时要满足斜率连续，即要求有连续转动的切平面或副法矢同向。参照Bézier曲面的拼接，由于位置连续保证了沿公共边界的w向切矢相等，现在只需要达到跨界斜率(即拼接处的u向切矢)连续就可以了，即 这就要求p(2)(u,w)曲面矩阵［C］中的第三行元素分别为p(1)(u,w)曲面矩阵［C］中的第四行元素的λ倍，即第二张曲面片p(2)(u,w)在拼接的两个角点处的u向切矢及扭矢应分别为第一张曲面片p(1)(u,w)在拼接的两个角点的u向切矢及扭矢的λ(λ0)倍。 5.10 一般B样条曲线、曲面与NURBS曲线、曲面 相对于有理表示形式而言，我们把采用参数整多项式定义的Bézier方法与B样条方法都称为非有理的，如非有理Bézier曲线与曲面、非有理B样条曲线与曲面。有理B样条方法分为均匀、 准均匀、分段Bézier、非均匀四种类型，而前三者又可看作是非均匀类型的特例，因此，人们习惯上把这四种类型统称为非均匀有理B样条(NonUniform Rational BSpline，缩写为NURBS)方法。 NURBS方法的突出优点在于：① 为标准的解析形状(如圆锥曲线、二次曲面、回转面等)和自由曲线、曲面(包括有理和非有理的Bézier、B 样条曲线与曲面)提供了统一的数学表示，因此，一个统一的数据库就能存储这两类形状信息； ② 可通过控制点和权因子，灵活地进行形状设计。鉴于ＮＵＲＢＳ在形状定义方面的强大功能与潜力，1991年国际标准化组织(ISO)正式颁布了工业产品几何定义的STEP标准，作为产品数据交换的国际标准。在STEP标准中，自由曲线、曲面惟一地用NURBS表示。目前，许多先进的CAD/CAM系统具有NURBS功能。 5.10.1 一般B样条曲线与曲面 1. B样条曲线的定义  B样条曲线的定义有磨光法、差商法、德布尔-考克斯(De BoorCox)递推定义等。这里介绍常用的递推定义形式。 给定n+1个控制点(即位置矢径)bi(i=0,1,…,n)，k阶(k-1次)B样条曲线的定义为 其中，Ni,k(u)为权函数，也就是B样条基函数，由下面递推公式得到 当u∈［ti, ti+1］ 当u∈［ti, ti+1］ (5-47) 当分母为 0 时，定义分式的值为0。 关于式(5-47)及B样条曲线， 特作如下说明： (1) 式(5-47)中的ti是节点值，其取值为k阶B样条函数节点向量(t0,t1,t2,….,tn+k)中的一个分量，节点向量的分量取值是任意实数， 但必须是一个非减序列。节点向量的分量共n+k+1个。 (2) Ni,k(u)中u的取值范围为［ti,ti+k］，至多有k个节点区间(因有重节点的情况)，每个节点区间［ti,ti+1］对应一个函数表示式，因此，N i,k(u)是一个至多包含k段的分段函数，而且具有非负性。 (3) B样条曲线具有局部性。从(2)的分析中可知，对于u∈［ti,ti+1］中的任一点p(u)，其n+1个Ni,k(u)中至多只有k个为非零， 其他的Ni,k(u)均为零，也就是说，B样条曲线是由曲线段组成的， 对于u∈［ti,ti+1］中的一段，它至多与k个顶点有关，与其他顶点无关，这就是B样条曲线的局部性。局部性为曲线的修改带来了方便，改动一个控制顶点，至多影响以该点为中心的邻近k段曲线的形状。 (4) B样条曲线的连续性。B样条曲线在节点区间内部是Ck-2连续的；在节点处是Ck-s-1连续的，这里s为节点的重复度(不重复时s=1)。 (5)B样条曲线p(u)定义中，参数u的取值范围为［tk-1,tn+1］， 为什么不是［t0,tn+k］呢? 这是因为u在［t0,tk-1］, ［tn+1,tn+k］两个节点区间段中取值时，B样条的规范性不成立(即不满足 )， 不能构成基函数组。 为使用方便，我们给出与上述定义等价且类似于均匀B样条曲线那样的分段定义形式： 给定n+1个位置矢径bi(i=0,1,…,n)，称k阶(k-1次)参数曲线 j=0,1,…,n-k+1 为k阶(k-1次)B样条的第j段曲线，其全体(n-k+2段)称为k阶(k-1次)B样条曲线。 式(5-48)中，Nl+j,k(u)为B样条基函数，由式(5-47)得到, 节点向量为(t0,t1, …,tn+k)，节点值为t0，t1， …，tn+k。 (5-48) 2. B样条曲线的递推计算——德布尔算法