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* * * * * * * * * * * * * * * * 高阶方程 则有： 令 Lab07 常微分方程 3.用如上程序求常微分方程 分别取步长h=0.1,0.1/2,0.1/4,0.1/8计算y(1.5)，并与精确解比较 1.经典4阶Runge-Kutta方法解常微分方程的通用程序 2.Adams隐式3阶方法解常微分方程的通用程序(由1提供初值) 4.简单分析数据 例：考察初值问题 在区间[0, 0.5]上的解。 分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 精确解 改进欧拉法 欧拉隐式 欧拉显式 节点 xi 1.0000 ?2.0000 4.0000 ?8.0000 1.6000?101 ?3.2000?101 1.0000 2.5000?10?1 6.2500?10?2 1.5625?10?2 3.9063?10?3 9.7656?10?4 1.0000 2.5000 6.2500 1.5626?101 3.9063?101 9.7656?101 1.0000 4.9787?10?2 2.4788?10?3 1.2341?10?4 6.1442?10?6 3.0590?10?7 出了什么问题 ??! §8.5 差分方程的绝对稳定性 对于一般的差分方程 由初始误差产生了差分解的误差，实际上是同一差分方程，取不同初值所得到的2组差分解之间的差。这个差不仅于差分方程本身有关，而且与微分方程本身有关。如果微分方程本身是不稳定，那就没理由要求这2组解充分接近。因此，差分方程的稳定性概念是建立在微分方程稳定的基础上的。 考虑最简单的模型：只有初值产生误差，看看这个误差的传播。 把这个典型微分方程规定为： 差分方程运用到如上的微分方程后，可以得到 对于给定的初始误差 ，误差方程具有一样的形式 定义：差分方程称为绝对稳定的，若差分方程作用到微分方程 时，对任意的初值，总存在左半复平面上的一个区域，当 在这个区域时，差分方程的解趋于0。这个区域称为稳定区域 例：Euler公式的稳定性 误差方程： 0 -1 -2 Re Img 考察隐式欧拉法 可见绝对稳定区域为： 2 1 0 Re Img 注：一般来说，隐式欧拉法的绝对稳定性比同阶的显式法的好。 3阶Runge-Kutta 显式 1~ 4 阶方法的绝对稳定区域为 k = 1 k = 2 k = 3 k = 4 - 1 - 2 - 3 - - - 1 2 3 Re Img * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第8章　常微分方程 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解。 本章讨论常微分方程的数值解法 对于一个常微分方程： 通常会有无穷个解。如： 因此，我们要加入一个限定条件。通常会在端点出给出，如下面的初值问题： 为了使解存在唯一，一般，要加限制条件在f上，要求f对y满足Lipschitz条件： 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算。因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似，而是求解函数在某些节点的近似值。 例：我们对区间做等距分割： 设解函数在节点的近似为 由数值微分公式，我们有 ，则： 向前差商公式 可以看到，给出初值，就可以用上式求出所有的 基本步骤如下： ③ 解差分方程，求出格点函数 ① 对区间作分割： 求y(x)在xi上的近似值yi。 称为分割 上的格点函数 ② 由微分方程出发，建立求格点函数的差分方程。这个方程满足： A、解存在唯一；B、稳定，收敛；C、相容 数值方法，主要研究步骤②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性质。 这种方法 ，称为数值离散方法。求的是在一系列离散点列上，求未知函数y在这些点上的值的近似。 我们的目的，就是求这个格点函数 为了考察数值方法提供的数值解，是否有实用价值，需要知道如下几个结论： ① 收敛性问题 ② 误差估计 ③ 稳定性问题 步长充分小时，所得到的数值解能否逼近问题的真解； 舍入误差，在以后各步的计算中，是否会无限制扩大； 8.1 Euler公式 做等距分割，利用数值微分代替导数项，建立差分方程。 1、向前差商公式 所以，可以构造差分方程 称为局部截断