计数原理1.1分类计数原理和分步计数原理幻灯片.ppt

1.1分类计数原理和分步计数原理 请同学们回答下面的问题 : 何时用分类计数原理、分步计数原理呢? 答:完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成,则计算完成这件事情的方法总数用加法原理。 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事,则计算完成这件事的方法总数用乘法原理。 2.如图,一条电路在从A处到B处接通时，可以有多少条不同的线路？ A B 解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 2×2 = 4, 条 所以, 根据加法原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。 当然,也可以把并联的4个看成一类,这样也可分2类求解。 …… …... A B A B m1 m1 m2 m2 mn mn 点评: 我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”。如图: 分类计数原理、分步计数原理　 　例1 五名旅客在三家旅店投宿的方法有多少种？ 解：完成这件事，可分成五个步骤：第一步安排旅客A，有3种投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步都各自有3种方法，根据分步计数原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有 　　N＝3×3×3×3×3＝35＝243 答：五名旅客在三家旅店投宿的方法有243种。 例2 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类办法：第一类办法是从第一个口袋内任取1个小球，可以从5个小球中任取1个，有5种方法；第二类办法是从第二个口袋内取小球，可以从4个小球中任取1个，有4种方法，根据分类计数原理，得到不同的取法的种数是N＝m1＋m2＝5＋4＝9． 　　答： 从两个口袋内任取1个小球，有9种不同的取法． 　　(2)从两个口袋内各取1个小球，可以分成两个步骤来完成：第一步从第一个口袋内取1个小球，有5种方法；第二步从第二个口袋内取1个小球，有4种方法，根据分步计数原理，得到不同的取法的种数是N＝m1×m2＝5×4＝20 　　答： 从两个口袋内各取1个小球，有20种不同的取法． 例3 现有高一学生8名，高二学生12名，高三学生10名组成课外活动小组： 　　(1)选其中一人为组长，有多少种不同选法？ 　　(2)每一年级选一名组长，有多少种不同选法？ 解：（1）选一人作组长，有三类方法：第一类从高一选一名学生，有8种方法；第二类从高二选一名学生，有12种方法；第三类从高三选一名学生，有10种方法，选一人作组长的方法总数为 8+12+10=30 答：选一人作组长的方法总数为30。 （2）每年级选一人作组长，可分三步来完成：第一步从高一选一名学生，有8种方法；第二步从高二选一名学生，有12种方法；第三步从高三选一名学生，有10种方法，即各选一人作组长的方法总数为 8×12×10=960 答：各选一人作组长的方法总数为 960。 例4. 5名同学报名参加4个课外活动小组(每人限报1个)，共有多少种不同报名方法？　　 例5. 5名同学争夺4项竞赛冠军获得者共有多少种可能？ 解：五名学生依次报名，可分五步来完成．每名学生在四个项目中可任报一项，即每一步都有四种可能．根据分步计数原理，不同的报名方法共有 N＝4×4×4×4×4＝45＝1024(种)． 答:不同的报名方法共有 1024种． 解：确定四项冠军人选可分四步来完成：第一步确定第一项冠军人选，有m1＝5(种)可能；第二步确定第二项冠军人选的方法种数,直至第四步都与第一步相同，根据分步计数原理，冠军获得者共有 N＝5×5×5×5＝54＝625(种)可能． 答:确定四项冠军人选的方法种数共有625种. 例5　75600有多少个正约数？有多少个正奇约数？ 解：(1)75600的每个正约数都可以写成 　　2i·3j·5