周世勋《量子力学》习题解答.docVIP

第二章 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证明：对于定态，可令可见无关。 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： 从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：在球坐标中同向。表示向外传播的球面波。 可见，反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ ∴波函数不能按方式归一化。 其相对位置几率分布函数为 表示粒子在空间各处出现的几率相同。 一粒子在一维势场 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 解：无关，是定态问题。其定态S—方程 在各区域的具体形式为 Ⅰ：① Ⅱ：② Ⅲ：③ 由于(1)、(3)方程中，由于，要等式成立，必须 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。 方程(2)可变为 令，得 其解为 ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 ⑤ ⑥　　　　 ⑤ ⑥ ∴ 由归一化条件 得 由 可见E是量子化的。 对应于的归一化的定态波函数为 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 证： （2.6-14） 由归一化，得 ∴归一化常数 2.5求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。 解： 令，得 由的表达式可知，时，。显然不是最大几率的位置。 而 可见是所求几率最大的位置。 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。 证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为 ① 将式中的代换，得 ② 利用，得 ③ 比较①、③式可知，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数。方程①、③可相互进行空间反演 而得其对方，由①经反演，可得③， ④ 由③再经反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 　 ⑤ ④乘 ⑤，得 可见， 当时，，具有偶宇称， 当时，，具有奇宇称， 当势场满足时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 2.7 一粒子在一维势阱中 运动，求束缚态()的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为 按势能的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： ① Ⅱ： ② Ⅲ： ③ 整理后，得 Ⅰ： ④ Ⅱ：. ⑤ Ⅲ： ⑥ 令 则 Ⅰ： ⑦ Ⅱ： ⑧ Ⅲ： ⑨ 各方程的解为： 由波函数的有限性，有： 因此 由波函数的连续性，有 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 ∵ ∴ 即 为所求束缚态能级所满足的方程。 方法二：接（13）式 另一解法：(11)-(13) (10)+(12) (11)+(13) (12)-(10) 令 则 合并： 利用 另：最简方法-平移坐标轴法 解： Ⅰ： （χ≤0） Ⅱ： （0＜χ＜2） Ⅲ： （χ≥2） 束缚态＜＜ 因此 由波函数的连续性，有 (7)代入(6) 利用(4)、(5)，得 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 对各区域的具体形式为Ⅰ： Ⅱ： Ⅲ： Ⅳ： 对于区域Ⅰ，，粒子不可能到达此区域，故 而 .