[工程科技]医学图像变换新.pptVIP

* * * 频率窗函数F(w) 中心为w*，均方根半径为DF 根据不确定性原理 等号仅在 f (t)和 F(w)为高斯函数时成立 4.5.1 窗函数 一个函数 f (t)相对于窗函数f (t)在时-空平面上位置(b, v)的短时傅里叶变换是 窗函数f (t) 满足 F (w)像一个低通滤波器，即频谱在w = 0处不为零 4.5.2 短时傅里叶变换 Gf [f (b, v)]给出 f (t)在接近t = b处的近似频谱. 将窗函数 f (t–b)看作正弦波exp(–jvt)的调制函数，短时傅里叶变换可写为（其中代表内积） 函数fb,v(t) = f (t–b)exp(jvt)就像一组波形，其中正弦波在包络函数 f (t)中振荡。 4.5.2 短时傅里叶变换 用高斯函数作为窗函数 t* = w* = 0，Dga = 和DGa = 1/2 。可知DgaDGa = 1/2，即达到了不确定性原理所给出的下限 4.5.3 Gabor变换 Gabor变换给出了f (t)在时间窗 中的信息 为推导频域里对应的窗函数，可使用Parsevals等式 Gabor变换给出了f (t)在频率窗 中的信息 Gabor变换 其中–∞ ≤ b, v ≤ ∞ 离散形式 4.5.4 离散Gabor表达 Gabor变换实例 Gabor变换的缺点： 为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。总之对多尺度信号希望时－频窗口有自适应性，自动改变 和 的大小。高频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小，时窗大。 但Gabor变换的时－频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是Gabor变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。 4.6 小波变换 小波变换是近十几年发展起来的，目前已经成为国际上极为活跃的研究领域，倍受科学技术界的重视，它不仅在应用数学上已形成一个新的分支，而且在信号处理、图像处理、模式识别等众多非线性科学领域的应用上，也被认为是继傅里叶分析之后在分析工具及方法上的重大突破。 与Fourier变换、Gabor变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 4.6.1 小波变换基础 4.6.2 1-D小波变换 4.6.4 2-D小波变换 4.6 小波变换 1. 序列展开 ak是实数，称为展开系数，uk(x)是实数，称为展开函数 是u(x)的对偶函数。 (1) 展开函数构成空间U的正交归一化基，uk(x) = uk(x) (2) 展开函数仅构成空间U的正交基，但没有归一化 4.6.1 小波变换基础 2. 缩放函数 用展开函数作为缩放函数，并对缩放函数进行平移和2进制缩放 k 确定了uj,k(x)沿X-轴的位置，j 确定了uj,k(x)沿X-轴的宽度（所以u(x)也称为尺度函数），系数2 j/2 控制uj,k(x)的幅度。 给定一个初始 j，就可确定一个缩放函数空间Uj，Uj中任一函数可表示为下式。 4.6.1 小波变换基础 各个缩放函数空间Uj，j = –∞, …, 0, 1, …, ∞是重合嵌套的，即Uj ? Uj+1 。 Uj中的展开函数可以表示成Uj+1中展开函数的加权和。用hu(k)表示缩放函数系数。u(x) = u0,0(x) 多尺度细化方程 4.6.1 小波变换基础 3. 小波函数 用v(x)表示小波函数 与小波函数vj,k(x)对应的空间用Vj表示 空间Uj，Uj+1和Vj有如下关系 在Uj+1中，Uj的补是Vj 4.6.1