实变函数论课件13课件幻灯片.pptVIP

第13讲 Lusin定理 显然对任意 及任意 ， 在点连续，而当 时，对任意 ，存在 使得只要 ，就有 第13讲 Lusin定理 若 是 的孤立点，则 是某两个区间 与 的公共端点，即 ，或 ，无论何种情形， 在 的左、右附近均是线性函数，它当然是连续的。 若 不是 的孤立点，则 含 中无穷多个点，因此 不是任何两个开区间 ， 的公共端点。若 第13讲 Lusin定理 在某个区间 中，则 ，如果 ，则 ，故 在 点右连续，若 ，即 ，则 。于是对任意开区间 ，或者 ，或者 ，而当 时，由 在 上是线性函数及 第13讲 Lusin定理 立知 （任意 ），进而 任意 ，有 。如果 ，则对任意 ，或者 ,或者 类似可证 （任 第13讲 Lusin定理 总之 在 点是右连续的。同理可证 在 点是左连续。于是 在点 连续。 这样，我们将 连续地延拓到了 上，接下来的事情就简单了，取 ，并令 第13讲 Lusin定理 显然 在 上连续，且 从而当 时，有 证毕。 第13讲 Lusin定理 作 业：P78 16，19，20 第13讲 Lusin定理 目 的：通过本讲的学习，使学生了解Lusin定理的科学意义。懂得如何从熟悉的理论或现象中寻找新的东西，发现一般规律。学会从分析中寻求所要的证明。 重点与难点：从熟悉的理论出发发现Lusin定理；寻求Lusin定理的证明。 第13讲 Lusin定理 基本内容： ?一．一般集合上的连续函数 （1）? 回忆闭区间上连续函数的性质。 最大最小值原理、介值定理、Weirstrass定理 回忆前一章，对任意可测集E及任意 可以找到闭集 ，使 第13讲 Lusin定理 （见第二章§2定理3的证明）。因此，如果函数序列 在E上几乎处处收敛到 ,且 几乎处处有限，则我们可以先利用Egoroff定理，找一个集合 使 在 上一致收敛到 ，然而再找闭集 ，使 限制在 上当然 第13讲 Lusin定理 也是一致收敛到 的，并且 这说明，Egoroff定理（ii）中的 可以取成闭集。假如我们已经定义了闭集上的连续函数概念，便可以将数学分析中有关闭区间上的边续函数及其序列的许多结论搬到这里来。例如，闭集上一致收敛的连续函数序列的极限应该也是连 第13讲 Lusin定理 续的。为此，我们先来定义一般可测集上连续函数的概念。 （2）??? 一般可测集上连续函数的定义。 问题1：如何修改区间上连续函数的定义，使其适合一般可测集？ 第13讲 Lusin定理 定义1 设E是 中的点集， 是定义在E上的函数， ，如果对于任意 ，存在 ，使得当 时，有 则称 在点 相对于E连接。 如果对任意 点相对于E