极限的严谨定义.PPT

極限 2 ? 2011 Cengage Learning. All Rights Reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part. Tan 微積分 2.3 極限的嚴謹定義 極限的嚴謹定義 2.1 節函數極限的定義是直覺上的。本節我們給慣用語句如「f (x) 可以隨意靠近L」和「取x 夠接近a」嚴謹的意義，並且著重在雙邊極限 (1) 其中a 和L 為實數。 * Tan/微積分-Ch2.3-p73 極限的嚴謹定義 現在開始探討如何建立比較嚴謹的結果 (2) 這裡f (x) = 2x – 1, a = 2 和L = 3。需要證明「當x 夠接近2，f (x) 可以隨意接近3。」 先明白「f (x) 接近3」的意思。 Tan/微積分-Ch2.3-p73 極限的嚴謹定義 一開始，假設我們邀請一位挑戰者明確地說明某種「忍耐力」。譬如：挑戰者認為f (x) 接近3 是f (x) 和3 之間相差不超過0.1 個單位。 記得∣f (x) – 3∣為f (x) 和3 的距離，我們可重新敘述為f (x) 接近3 只要 | f (x) – 3 | ? 0.1 等價於2.9 f (x) 3.1 (3) （圖2.18。） Tan/微積分-Ch2.3-p73 極限的嚴謹定義 Tan/微積分-Ch2.3-p74 圖2.18 所有使2.9 f (x) 3.1 成立的f 值都「接近」3 極限的嚴謹定義 現在要證明當x「夠接近2」，不等式(3) 成立。因為| x – 2 |為x和2 的距離，所以只需要證明存在某正數，稱之為? （delta），使得 0 ? | x – 2 | ? ? 得到 | f (x) – 3 | ? 0.1 （前半個不等式要排除x 為2 的可能。記住當我們在求函數在點a的極限，不要考慮此函數在點a 是否有定義，或它在點a 的值。） Tan/微積分-Ch2.3-p74 極限的嚴謹定義 為了求? ，考慮 f (x) – 3 | = | (2x – 1) – 3 | = | (2x – 4 | = | 2(x – 2) | = 2| x – 2 | 所以當 2| x – 2 | ? 0.1成立。假如取? = 0.05，則0 ? | x – 2 | ? ? ，推得不等式(4) 成立。 Tan/微積分-Ch2.3-p74 極限的嚴謹定義 依序推得 | f (x) – 3 | = 2| x – 2 | ? 2(0.05) = 0.1 即得證（圖2.19）。 Tan/微積分-Ch2.3-p74 圖2.19 當x 滿足∣x – 2∣ 0.05，f (x) 就滿足∣f (x) – 3∣ 0.1 極限的嚴謹定義 我們已經記得式(2) 了嗎？答案是還沒有。我們所了解的為限定x 必須夠接近2，f (x) 才可能「接近3」，或對某特殊挑戰者而言，是可接受的程度。 另一位挑戰者可能指定「f (x) 接近3」可接受的誤差是10–20 。假如追溯最後的步驟，將由指定「f (x) 接近3」可接受的誤差是10–20來證明只要0 ? | x – 2 | ? 5 ? 10 –21， | f (x) – 3 | ? 10 –20（選取? = 5 ? 10 –21 ）。 Tan/微積分-Ch2.3-p74 極限的嚴謹定義 為了讓所有可能表示接近的觀念一致化，設定可容忍的特定數字符號ε（epsilon）表示任意正數。 我們能否證明只要x 夠接近2時，f (x) 很接近3（可有誤差ε）？換言之，給予任意數ε 0，能否找到數? 0，使得 當 0 ? | x – 2 | ? ? ，得到 | f (x) – 3 | ? ε 為了回答這些問題，將0.1 換成ε並且重複之前的運算。 Tan/微積分-Ch2.3-p74~75 極限的嚴謹定義 考慮 | f (x) – 3 | = | (2x – 1) – 3 | = | 2x – 4 | = 2| x – 2 | 現在 只要 所以取? = ε/2 ，則0 ? | x – 2 | ? ? 推得| x – 2 | ? ε/2 ，亦即 Tan/微積分-Ch2.3-p75 極限的嚴謹定義 因為ε是任意數，所以已經證明：當x 夠接近2，「f (x) 可以隨意接近3」。 經過如此的分析，得到下面嚴謹的極限定義。 Tan/微積分-Ch2.3-p75 定義（嚴謹的） 函數在某一點的極限 假設f 為定義在一含a 的