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大學入學考試中心99學年度學科能力測驗 數學考科試題解析 徐正梅 臺北市立建國高中(退休) 第壹部分：選擇題（佔60分） 一、單選題（佔35分） 簡答 1.　(2)　　2.　(3)　　3.　(5)　　4.　(1)　　5.　(3)　　6.　(4)　　7.　(4)　 詳解 1. 由1或組成10項的和，其值視1（或）之“出現次數”而定。即1可能出現：0次，1次，2次，…，10次，對應的和S可能為：，，，…，，0，2，4，…，10，共有11種可能。答：選項(2) 2. a，b為整數且滿足，則，故，，，，於是。答：選項(3) 3. 三顆紅球記作，，；三顆白球記作，，。同時從六顆球中隨機抽出兩顆球得“異色球”之機率為，　得“同色球”之機率為。此遊戲的 　　　　　　期望值60元 答：選項(5) 4. 　　　　　　　　　　 與決定的直線為　　　　　　 、、面積的大小，由三個高（底同為）的大小而定。、、到直線的距離依次為　　　　　　、、， 因 (), ，即 ，故　　　　　　。 答：選項(1) 5. 以“千隻”為單位，設k小時後細菌數量為，則 　　　　　　，　　　　　　，　　　　　　，…，，　　　　　　， ≒≒因、，故答：選項(3)（約2200千隻） 【註】線性內插法　　　　　　≒　　　∴≒2.2　　　即≒2.2。 6. ，∴P在球面上變動，與（固定向量）夾成“定角”（）之P點軌跡是一個圓。 答：選項(4) 7. ，長軸之長，，長軸之長， ，長軸之長，∴。答：選項(4) 【註】　　　： 二、多選題（佔25分） 簡答 8.　(2)(3)　　9.　(1)(5)　　10.　(2)(3)(4)　　11.　(1)(3)(5)　　12.　(2)(4)　 詳解 8. 、、、分別為第一、二、三、四象限內的角且都介於0與之間，又，，故。，又∴，即。答：選項(2)(3) 9. (1) 奇數次實係數方程式至少有1個“實根”。(2) ∵　（） ∴無“實根”。(3) 對任意實數x而言，，， 故無“實根”。 【註】。(4) ∵、， 故方程式無“實根”。(5) 因 　　　　　　   　　　　　　此處 即　 　　　　　　 ∴有實數解x 答：選項(1)(5) 10. 實數數列滿足：。(1) 當，則。(2) 當是整數，因恆為正整數，由遞推知每一項都是“整數”。(3) 當是無理數，則整數無理數，仍為“無理數”， 又 　 　 得：；　 得：， 即 由遞推得知 是無理數，，，…，，…“奇數項”都是無理數 　　 是無理數，，，…，，…“偶數項”皆為有理數。(4) 由式得。(5) 已知第k項是“奇數”。 (i) 當（奇數），，…，，…皆為“奇數”。 (ii)當（偶數）是偶數；是奇數 是偶數；是奇數 ……即「一偶、一奇」重複出現。答：選項(2)(3)(4) 11. 是原點在直線L上之“投影點”合乎上面條件的選項為(1)(3)(5)，即 　 　　　　　　 【註】0在平面之投影點為，　　　利用“三垂線定理”　　　　　　　　　P為O在上的投影點　　　　　　　 12. 95%信心水準下之信賴區間已知 抽樣調查 1°在95%信心水準下之信賴區間 女性為　　　， 男性為　　　。2°此次抽樣調查人數約 女性為　　　≒0.02≒ 　　　　　　n≒624（人）　  男性為　　　≒0.04≒≒151（人） 　　　　　　n≒151（人） 3°不區分性別，此次抽樣贊成此議題的比例必介於0.52與0.59之間，即，事實上， ≒0.5336 　　　　　　∴ 4°不區分性別，此次抽樣的標準差為 　　　　　　≒≒　 　　　　　　 ≒0.018答：選項(2)(4) 【註】不可由“男、女抽樣人數不等”，去推估「全台男性公民」贊成此議題之比例大於「女性」贊成此議題的比例。 第貳部分：選填題（佔40分） A. □ABCD之面積△ABC的面積。，，△ABC之面積　∴，即令，由得，，，故。 B. 由“實係數”n次方程式“虛根共軛成對定理”知　　　　　　  之常數項為。 C. 1° 直行 ↓ ↓ ↓ ← 橫 列 ← 「1與2」同一直行， 1有6個位置可供選擇， 1選定後，2只剩下1個位置可選， 其餘「3、4、5、6」排在餘下的四個空位，其法有4!， 故　　　　　2°「1與2」在同一橫列，其排列法有 　　　　　　3°全部情形（）有432。 D. 已知且有實數解，