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合情推理之二 类 比 2.1类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉. 如，通过找出三角形在空间的类比，我们可以获得一些新的发现：就两者都是由数目最少的简单分界元素所围成的这样一点来说，四面体可以看成三角形在空间的类比：在平面上，2条直线不能围成一个有限的图形，然而，3条直线却可以围成一个三角形；在空间，3个平面不能围成一个有限的图形，然而，4个平面却可以围成一个四面体。 由以上类比，我们即可由平面几何的有关知识去猜测立体几何的有关结论。例如，由三角形的3条内角平分线相交于一点，而且这就是三角形内切圆的圆心的事实，我们就可以引出以下的猜测：四面体的6个二面角的平分面也相交于一点。而且这就是四面体的内切球的球心。 我们还可得到怎样的类比呢？ 如果从“生成”的角度去进行分析，棱锥可以看成三角形在空间的类比：三角形可以看成将线段（所在直）外一点与线段上的各点用线段相连所生成的图形，棱锥则可看成将多边形（所在平面）外的一点与多边形上的各点用线段相连所生成的。 通过以上的类比，我们也可由平面几何的有关知识去推测立体几何的有关结论。例如，由圆的面积等于以圆周长为底边、半径为高的三角形的面积这一事实出发，我们便可联想到：球的体积很可能就等于以球面（面积）为底、球半径为高的棱锥的体积。 2.2类比在求解问题中有着广泛的应用。“选出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解法，以便它可以用作一个模式。然后，利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解决。” 例1：空间一个平面把空间分成两个区域，两个平面最多把空间分成四个区域，三个平面最多可把空间分成8个区域，n个平面最多可把空间分成几个部分？ 2.3类比不仅可以被用于发现，而且也可被用于对猜测进行检验。在此，有这样的原则：如果有一个与之相类似的猜测得到了证明，原来的猜测也就变得更加可靠。 例2：欧拉曾利用有限与无限的类比，得到了以下的大胆猜想： 欧拉是如何得到这个猜测的呢? 这个猜测来自于类比,是无穷与有限之间的类比. 具体地说，欧拉在此是把sin x / x看成是一个“无穷次”的方程，它的根为： π，-π，2π，-2π，3π，-3π，…… 然后，通过类比，就可得出如下的等式： 我们又知道， 从而，通过比较 项的系数，就可以得出上述猜想. 为了检验这一猜想的可靠性，欧拉又用同样的方法求得了莱布尼兹级数的和。 考察如下方程 1-sin x =0. 把它看成一个“无穷次方程”，它的根为 π/2，-3π/2，5π/2，-7π/2，9π/2，-11π/2，…… 由于这些根都应被看成是重根（曲线y = sin x 在这些横坐标处并非与直线y = 1 相交，而是相切）， 因此，依上述的类比就有： 1- sin x = （1-2x/π）２(1+2x/3π) ２ (1-2x/5π) ２ (1+2x/7π) ２…… 我们又知道： sin x = 1-x/1 + x３/3! - x５/5! +…… 比较两式的x项的系数，就有： -1=-4/π+4/3π-4/5π+4/7π-…… 即 π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-…… 由于这是一个先前已经知道的结果，从而，就如欧拉的指出的：“这对于我们那个被认为还有某些不够可靠之处的方法，现在可充分予以肯定了，因此，我们对于用同样方法导出的其他一切结果也不应该怀疑。” 在中学数学教学中，类比思想的运用大体上有如下几种： 1.个别到一般的推广。 例如，从完全平方公式到杨辉三角、二项式定理，从全等三角形到相似三角形，从分数性质到分式性质，从整数指数幂到分数指数幂乃至无理指数幂，平行线等分线段定理到平行线分线段成比例定理等等，这些类比，前者一般是后者的特例，都可以看作是从个别到一般的推广。 2. 某种特性的推广使用。例如，把实数运算中的一些运算性质推广到向量的运算中（如从实数运算的分配律：a(b+c)=ab+ac，到向量中的数积等等）、推广到数列的极限运算中，从三角形中位线定理到梯形中位线定理等等。 3低维到高维的类比。其一是从数轴到平面直角坐标系的类比，如：数轴上，点A坐标为3，则它到原点的距离为3，平面直角坐标系中，若点A的坐标为（3，2），则它到y轴的距离为3，到x轴的距离为2，在数轴上，点3左边的所有的点可以用不等式x≤3的解集来表示，那么，平面直角坐标系中，直线x+y=3下方的区域则可以用集合{（x，y）|x+y3或y3-x}来表示等； 其二是平面到空间的类比，前面我们已有所阐述，这里我们再举一例： 例3：O是△ABC内任意一点，连结AO,BO,CO并延长交对边于D,E,F，则: OD/AD+OE/BE+OF/CF=1