南京市第十四中学校本课程教材管理.doc

南京市第十四中学校本课程教材 常见的数学方法和数学思想大观 主编：付英波 审核:南京市第十四中学数学教研组 目录 第一讲 数学方法和数学思想的简单认识 第二讲 定义法 第三讲 配方法? 换元法?函数与方程思想美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题．而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法．高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法．“数学思想”比一般的“数学概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻．“数学思想”是与其相应的“数学方法”的精神实质与理论基础，“数学方法”则是实施有关的“数学思想”的技术与操作程式中．常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识常用数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想、转化（化归）思想等．我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光．高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：数学中渗透着基本数学思想，它们是基础知识的灵魂，如果能使它们落实到我们学习和应用数学的思维活动上，就能在发展我们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于学习数学、发展能力并开发智力都是至关重要的．的椭圆的下顶点的轨迹方程． 分析：运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2．抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程． 解 设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y．根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到： ，消m得：（x－1）＋＝1， 所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1． 解题回顾：求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到．本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程．在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义．一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用． 例2 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性． 分析：要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断． 解 由 得： 所以f(x)＝－x＋x 又f(x)0得：0x1 设xx1， 则f(x)－f(x) ＝－x+x-（-x+x） =(x-x)[1-(x+x)( x+x)], 因为 x+x， x+x 所以(x+x)( x+x)〉×＝1 所以 f(x)－f(x)0即f(x)在(,1)上是减函数 因为 1 所以 y＝logf(x) 在(,1)上是增函数． 解题回顾：关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题．本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法． 例3 已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点． 证明：AB’∥平面DBC’； 分析： 由线面平行的定义来证，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得。 证明 连接B’C交BC’于O, 连接OD 因为 A’B’C’—ABC是正三棱柱 所以四边形B’BCC’是矩形 又因为 O是B’C中点 在△AB’C中， D是AC中点 所以 AB’∥OD 所以 AB’∥平面DBC’ 强化训练： 1．已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则 （ ） A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2．设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则 （ ） A. MPOMAT B. OMMPAT C. ATOMMP D. OMATMP 3．双曲线3x－y＝3的渐近线方程是 （ ） A. y＝±3x