EULER积分的定义.pptVIP

积分学 Euler积分 Euler积分的定义 ?函数(Gamma) ?函数(Beta) ?函数的导数 定理: ??C?(0, ?),且 证明: 使用优函数方法证明?a,b? (0,?)右边 积分在区间(a,b)上一致收敛就行了,?x?(a,b), ?函数的递推公式 ?x0, ?(x+1)=x?(x) 证明: 分部积分 ?函数的递推公式 ?x0,y0, (x+y)?(x,y+1)=y?(x,y) 证明: 分部积分 用?函数表示?函数 ?x0,y0,?(x,y)=?(x)?(y)/?(x+y) 证明: 这是很有技巧的证明. 在?函数 的表达式中做变量替换t=su (s0为参数) 用?函数表示?函数(续1) 在上式两端乘以sy-1e-s得到 两边对s由0至?得到 下面计算右端的积分 用?函数表示?函数(续2) 由Tonelli定理 注意对里面的积分做变量替换s=t/(1+u)得到 因此右端的为?(x+y)乘以 用?函数表示?函数(续3) 而通过变量替换t=u/(1+u): (0,?)?(0,1), du=dt/(1-t)2, 由此得到 这就得到 ?(x)?(y)=?(x+y)?(x,y), 也就是 因此, ?(x,y)?C?((0, ?)?(0, ?)).# ?函数的三角函数表示 证明：在定义式中 做变量替换 两个?函数的公式 在x=1/2处的值 Legendre公式 公式(1)的证明 简单的变量替换t=x^2 Legendre公式的证明 证明: 通过计算?(x,x)得到 Legendre公式的证明(续) 做变量替换 也就是 ?函数的简单性质和图像 ?函数的简单性质 正性: 由定义式?x0, ?(x)0 严格凸: 由定义式?x0, ???(x)0 ?(x)??(x?0或x??) ?(x)由惟一的最小点, 由?(1)= ?(2)=1, 最小值点在1与2之间1.461632145 对于正整数n: ?(n)=(n-1)! ?函数的图像 Stirling公式 Stirling(1696-1770, 苏格兰人) 证明: 这是一个计算函数极限的问题, 记 Stirling公式证明(续1) 做代换t=x(1+u)就有 注意对于任何?0, Stirling公式证明(续2) 先证明(*), 记g(u)=u-ln(1+u). 不难验证: ?u?(-1,?), u?0, g(u)0, ug?(u)0; ?u?(-1,?), g(u) ? g(?)-?g?(?)+g?(?)u; ?u?(-1,?), g(u) ? g(-?)+?g?(-?)+g?(-?)u; 由第一个不等式 Stirling公式证明(续3) 由第二个不等式 Stirling公式证明(续4) 现在证明(**), 为方便起见, 可取?=1/2,注意 下面的关系 Stirling公式证明(续5) 因此, 下面对?=1/2, 证明 Stirling公式证明(续6) 做变量替换 由关系式(A)得到 Stirling公式证明(续7) 由关系式(B)得到 由Lebesgue控制收敛定理 问题 研究下列形式的极限 例如先从对Stirling公式证明的一般化开始, 给出一个较一般的结果. 然后做一般的思考, 查阅文献, …等等. # * *