[理学]概率论基础复旦版李贤平第一章ppt.pptVIP

概率性质 * ?几何概型 Def 设有一个可度量的区域 （直线上的区间、平面上的区域、空间的立体通称），向区域 任意投一点，该点落于区域 内任意小区域里的可能性大小只与小区域度量的大小有关，而与小区域的位置形状无关，这样的随机试验称为几何概型，这时样本空间 。 几何概型如图1.4所示，具有下列特点： （1）有一个可度量的区域 ； （2）试验 看成向 中随机地投掷一点； （3）事件 就是所投掷的点落在 中的可度量图形 中。 ?概率的几何定义 Def 设 为几何概型， 为其任意一个事件， 为 的度量， 为 的度量，则事件 的概率为 G 图1.4 A 1.4 几何概率 * 例1.13 甲乙二人相约6:00-6:30在预定地点会面，规定先到的人要等候另一人10分钟后，方可离去。已知甲乙二人在6:00-6:30内任意时刻到达预定地点的机会是均等的。求甲乙二人能会面的概率。 解：设 表示甲乙二人能会面 甲乙二人到达预定地点 时刻分别为 及 （分钟）, 则 二人能会面 以6:00作为原点建立坐标系， 那么，该问题如图1.5所示。 从而有 30 30 10 10 图1.5 * 例1.14 甲乙两艘船欲停靠同一个码头，设两艘船到达码头的时间互不相干，而且到达码头的时间在一昼夜内是等可能的。如果两艘船到达码头后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时,试求在一昼夜内，任一艘船到达时，需要等待空出码头的概率。 解：设甲船到达码头的时刻为 ， ； 乙船到达码头的时刻为 ， ； 事件 表示任一船到达码头时需要等待空出码头． 事件 发生 与 需满足 如图1.6所示，从而有 即有 x y 24 24 y = x + 1 y = x - 2 图1.6 * 例1.15(蒲丰投针问题) * * * * * ?事件域 1.5 概率空间 * * ?概率的公理化定义 概率公理化定义刻画了概率的本质，概率是一个函数，这个函数的作用是能度量随机事件再一次试验中出现机会的大小。它有点像我们熟悉的面积、体积，即所谓的测度。 * 概率的公理化定义规定了概率的基本性质，由这些基本性质可以推导出下面一些概率的常用性质。有效的利用概率的这些性质可以简化复杂事件的概率计算。 ?概率的性质 1. 证明：因为 且任意两项互斥， 由公理3便有 由于概率是数，显然有 该性质告诉人们：不可能事件的概率为零。但 可不能推出 是不可能事件。例如：某人用一薄刀片在直尺上随意砍，现考察刀片恰好砍到直尺的中点这一事件，显然这事件是可能发生的，但由几何概型容易看出其概率为0。 * 2. 有限可加性 设 两两互斥，则有 这个性质称为概率的有限可加性，证明类似于性质1。 3. 单调性 若 ，则有 。 证明：如图1.7所示有 又 互斥，从而 所以有 图1.7 * 4. 加法定理 对任意两个随机事件 ，有 证明：如图1.8所示有 又 互斥且 所以有 如果事件 互斥，则有 。 加法定理可以推广到任意有限个事件的情况，下面给出三个事件的情况 图1.8 * 5. 逆事件的概率 设 为事件 的对立事件，则有 。 证明：如图1.9所示有 所以有 即有 该公式为求事件的概率提供了一个途径。 ?概率性质在求解复杂事件概率中的应用 在