0 数列的极限知识研讨.pptVIP

一、数列极限的定义;一、数列极限的定义;考虑当n??时, An的变化趋势 n越大,内接正多边形与圆的差别越小，从而把An作为圆面积的近似值也越精确. 无论n取多大,只要取定, An终究只是多边形的面积,还不是圆的面积 当n无限增大时,即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中,从图形上看,内接正多边形将无限接近于圆;从数值上看,内接正多边形的面积无限接近于一个确定的数值,这个数值就是所要求的圆面积.;数列;x1; 数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f(n), n?N? . ; 例如;当n无限增大时, xn无限接近于常数a . ?当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ?当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ?当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.;当n 无限增大时,;数列极限的精确定义;注意;a;??? ?0, ?N?N?? 当n?N时? 有|xn?a|?? . ;例1; 例2 ; 例3 设|q|1, 证明等比数列 1, q , q2, ? ? ? , qn-1, ? ? ? 的极限是0. ;例4; 对于某一正数ε0? 如果存在正整数N? 使得当n?N时? 有|xn?a|? ε0? 是否有xn?a (n??)? ;二、收敛数列的性质;收敛数列的有界性;定理2(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界.;说明: 收敛必定有界,但有界不一定收敛.如数列{(-1)n+1}有界,但发散. 无界数列必定发散.;定理3(收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a?0(或a?0)? 那么存在正整数N? 当n?N时? 有xn?0(或xn?0)?;注: 在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序? 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列. ; 1? 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2? 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列的收敛性如何? 3? 发散的数列的子数列都发散吗？;练习;放大法;练习2