第2章节平稳随机信号的功率谱-频域特征幻灯片.pptVIP

* * 带通型限带白噪声的 和 的图形 * * 三、色噪声 按功率谱度函数形式来区别随机信号，我们将把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声或简称色噪声。 * * 小 结 1.随机信号的时间无限性，导致能量无限，因而随机信号的付氏变换不存在，但其功率存在。所以，不能对随机信号直接求付氏变换，即： × 但相关函数与功率谱密度构成一对付氏变换，即 若随机信号X(t)平稳，则 * * 2.平均功率的四种求法： 查表；留数；对功率谱密度求积分（有个 系数）；求相关函数后令 . 一般过程： 3. 随机信号的平均功率： 即集合平均＋统计平均。 4.特定函数的付氏变换需记忆。 * * 注意到上式中， 和 是任一样本函数，因此具有随机性，取数学期望，并令 得： * * 定义互功率谱密度为： 则 * * 同理，有： 且 * * 二、互谱密度和互相关函数的关系 若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有 即 对于两个联合平稳(至少是广义联合平稳)的实随机信号，它们的互谱密度与其互相关函数互为傅里叶变换。 * * 三、互谱密度的性质 性质1： 证明： （令 ） * * 性质2： 证明： 同理可证 * * 性质3： 证明：类似性质2证明。 性质4： 若X(t)与Y(t)正交，则有 证明：若X(t)与Y(t)正交，则 所以 * * 性质5： 若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分别具有常数均值 和 ，则 证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以 （ ） * * 例6：设两个随机信号X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数 为: 求互谱密度 ， 。 性质6： * * 解： * * 2.3 离散时间随机信号的功率谱密度 一、离散时间随机信号的功率谱密度 1.平稳离散时间随机信号的相关函数 设X(n)为广义平稳离散时间随机信号，或简称为广义平稳随机序列，具有零均值，其自相关函数为: 简写为： * * 2. 平稳离散时间随机信号的功率谱密度 当 满足条件式 时，我们定义 的功率谱密度为 的离散傅里叶变换，并记为 是频率为 的周期性连续函数，其周期为 奈奎斯特频率 * * 因为 为周期函数，周期为 ， 在 时 * * 在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离散时间随机信号的功率谱密度定义为 的z变换，并记为 ，即 式中 式中，D为在 的收敛域内环绕z平面原点反时针旋转的一条闭合围线。 性质 * * 例7：设 ，求 和 解： 将z= 代人上式，即可求得 * * 其中，T为采样周期， 为在 时对 的采样。 设 为一确知、连续、限带、实信号，其频带范围 ，当采样周期T等于 时，可将 展开为 二 确定性信号的采样定理 * * 连续时间 确知信号 离散时间 确知信号 采样 香农采样定理 连续时间平稳随机信号 * * 离散时间平稳随机信号 自相关函数 功率谱密度 功率谱密度 自相关函数 ? FT DFT ? ? 三 平稳随机信号的采样定理 * * 连续时间平稳随机信号 离散时间平稳随机信号 ? 采样 * * 若 为平稳随机信号，具有零均值，其功率谱密度为 ，则当满足条件 时，可将 按它的振幅采样展开为 * * 第一步 第二步 第三步 (1) (2) (3) (4) (5) =0 证明思路： * * 连续时间平稳随机信号 离散时间平稳随机信号 采样 = 自相关函数 功率谱密度 功率谱密度 自相关函数 FT DFT ? ? 三、 功率谱密度的采样定理 * * 若平稳连续时间实随机信号 ，其自相关函数和功率谱密度分别记为 和 ，对 采样后所得离散时间随机信号 ， 的自相关函数和功率谱密度分别记为 和 ，则有 * * 证明: (1) 根据定义 = = = 由 可见