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第三章 拉普拉斯变换 Laplace Transform-LT 3.1 引言 意义： 3.2 拉普拉斯变换 一、由FT→LT 拉普拉斯反变换 意义： 单边拉式变换 s平面 3.3 拉普拉斯变换的收敛域 一、收敛域 二、单边拉式变换的收敛域 例1：求单位冲激信号?(t)的拉式变换及收敛域 例3：求指数函数eat(a0)的拉式变换及收敛域 三、双边拉式变换的收敛域 例：求f(t)的双边拉式变换的收敛域 3.4 常用函数的拉普拉斯变换 常用函数的拉普拉斯变换 5、正弦函数sin?0t 6、余弦函数 cos?0t 7、衰减正(余)弦函数 e-at sin?t 3.5 拉普拉斯反变换 一、部分分式展开法 当F(s)为真分式时，分解为部分分式 则 f(t)为： 例1 例2 2、D(s)的根为共轭复根，且无重根（共轭单极点） 极点位置与信号特性的关系 例1 利用已知信号的拉氏变换 3、D(s)的根包含有重根 利用已知信号的拉氏变换 例1 作业 3.6 拉普拉斯变换的性质 一、线性 二、时间平移(延时) 例 三、s域平移 四、尺度变换 五、时域微分 例： 六、时域积分 七、s域微分 例 八、s域积分 九、初值定理 十、终值定理 十一、卷积定理 LT和FT的关系 FT讨论的是频域特性；信号的频谱、系统的频响特性 LT讨论的是复频域特性；系统的系统函数以及相应的时间信号的特性 3-7：2、4、6、7、10、11、14、17、18 3-8：1、2、4、7 线性特性的两个含义： ①齐次性（均匀性）：常数系数 ②可加性 微分后收敛域可能扩大 3-3：2；3-5：2 * * 1、拉普拉斯变换在电学、力学等许多学科领域中具有广泛的应用。主要用来研究连续、线性、非时变系统。 2、从数学的角度看，作为求解常系数线性微分方程的工具，能简化运算：将“微分”和“积分”转换为“乘法”和“除法”运算，即将微积分方程转换为代数方程。 3、有些不能计算傅里叶变换的函数能进行拉式变换。 本章主要内容：拉式变换的定义、收敛域；常用函数的拉式变换；拉式反变换的计算方法；拉式变换的性质。 进行傅里叶变换的一个基本条件是函数绝对可积，当一些函数不满足这个条件时，即t 趋于+ ?或-?时，f(t)衰减太慢。此时不能进行傅里叶变换，可以用e-?t (? 0)乘上f(t)，则t 趋于+?时，f1(t)= e-?tf (t)即为衰减的形式，可以作FT。 称为拉普拉斯正变换 由傅里叶反变换得： 双边拉普拉斯变换对： F(s) =Lb[f(t)]= f(t) =L b-1[F(s)]= F(s)称为f(t)的像函数，f(t)称为F(s)的原函数。 傅里叶变换将函数分解成无穷多复指数ej?t分量之和的形式，每一对??分量组成一个等幅的正弦振荡； 拉普拉斯变换则将函数分解成无穷多形式为est分量之和的形式，每一对??分量组成一个变幅的正弦振荡； 幅度按指数规律变化 s为复频率，当? =0时，s=j?，拉氏变换即为傅里叶变换。 当? 0时，为增幅振荡；当? 0时，为减幅振荡 实际信号都是有起始时间的信号，在 t 0时，f(t)=0 所以， 则单边拉普拉斯变换对为： F(s) =L[f(t)]= f(t) =L -1[F(s)]= 主要讨论单边的情况，所得的结果均指单边。 有些奇异信号在 t =0时刻有冲激，所以要从 t =0-时刻开始积分，才能包含0时刻的值。 对于反变换，用阶跃信号表示时间信号有起始时刻 s =? +j?为复频率，以?作为横轴， j?作为虚轴，得到的复平面即为s平面。 复平面上的点与指数函数 est 相对应。 实部?反映指数函数est = e? t e j?t 的幅度变化速率; 虚部?反映指数函数中 e j?t 作周期变化的频率。 作业：3-1：6、7、9(e-?t)；3-2：1、2 (e-?t) 、12 ；3-4：3 （利用定义或已知函数拉式变换）变换 当函数f(t)乘上e-?t之后，只是具有满足绝对可积条件的可能性，因此并不是对于所有的?值，函数f(t)都存在拉氏变换，而是在?取值的一定范围内， e-?t f (t)才收敛(绝对可积)。 使e-?t f (t)满足绝对可积条件的?值的范围称为拉式变换的收敛域 即在收敛域以内，函数的拉普拉斯变换存在； 在收敛域以外，函数的拉普拉斯变换不存在； 收敛边界将通过最右边的一个极点，收敛域经过收敛边界，但不包含收敛边界；则收敛域中不包含极点。 j? 0 ?0 σ 例2：求单位阶跃信号u(t)的拉式变换及收敛域 jω 0 σ j? 0 a σ 两个单边拉式变换的叠加 当t0时，f1(t)的变换对应收敛域的左边界，以?1表示； 当t0时，f2(t)的变换对