陕西五年数学高考解答题分类汇编(函数与导数).docVIP

陕西省近五年高考数学解答题分类汇编（函数与导数） 2007.20．（本小题满分12分） 设函数，其中为实数． （I）若的定义域为，求的取值范围； （II）当的定义域为时，求的单调减区间． 解：（Ⅰ）的定义域为，恒成立，， ，即当时的定义域为． （Ⅱ），令，得． 由，得或，又，时，由得； 当时，；当时，由得， 即当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为． （Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 2008.21．（本小题满分12分） 已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是． （Ⅰ）求函数的另一个极值点； （Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围． 解：（Ⅰ），由题意知， 即得，（*），． 由得， 由韦达定理知另一个极值点为（或）． （Ⅱ）由（*）式得，即． 当时，；当时，． （i）当时，在和内是减函数，在内是增函数． ，， 由及，解得． （ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数． ，，恒成立． 综上可知，所求的取值范围为． 2009.20．（本小题满分12分） 已知函数，其中 若在x=1处取得极值，求a的值；求的单调区间； （Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。 解（Ⅰ） ∵在x=1处取得极值，∴解得 （Ⅱ） ∵ ∴ ①当时，在区间∴的单调增区间为 ②当时，由 ∴ （Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知， 当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值 综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是 2010.21. （本小题满分14分） 已知函数 （Ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程； （Ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的和任意的，证明： 解：（Ⅰ）， 由已知得 解得， ∴ 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为，∴ 切线的方程为 （Ⅱ）由条件知∴ （ⅰ）当a0时，令，解得， ∴ 当时，在上递减；当时，在上递增， ∴是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点 ∴最小值 （ⅱ）当时，在上递增，无最小值， 故的最小值的解析式为 （Ⅲ）由（Ⅱ）知 对任意的 ① ② ③ 故由①②③得 2011.21．（本小题满分14分） 设函数定义在上，，导函数 （Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系； （Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 解 （Ⅰ）由题设易知，，，令得， 当时，，故（0,1）是的单调减区间， 当时，，故是的单调增区间， 因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为． （Ⅱ），设，则， 当时，，即，当时，， 因此，在内单调递减， 当时，，即，当时，，即． （Ⅲ）满足条件的不存在． 证明如下：证法一 假设存在 ，使 对任意 成立， 即对任意，有 ，（*） 但对上述，取时，有 ，这与（*）左边不等式矛盾， 因此，不存在 ，使 对任意成立。 证法二 假设存在，使 对任意的成立。 由（Ⅰ）知， 的最小值为。又，而时，的值域为， ∴ 时， 的值域为，从而可取一个，使 ， 即 ，故 ，与假设矛盾。 ∴ 不存在 ，使 对任意成立。 函数与导数 第 2 页 共 4 页