第03讲古希腊科学与哲学之二天文学和数理科学幻灯片.pptVIP

毕达哥拉斯：d0 毕达哥拉斯的分析： (i)d=0， 则有长度的线段由无线段的点积累而成——无中生有 (ii)d是无穷小， 则线段由无穷多个正数加起来——其长度正是无穷大！ 所以(iii)是正确的： 点有一定的大小，其长度d0——万物是离散的 毕达哥拉斯：任何两线段皆可共度 度量的概念： 人为地取任一单位长度，例如米尺，用来量一条线段，如果三次量尽，那么就说线段长时三米。 如果不能量尽，则把剩下的部分，取小一点的单位量，比如分米。如果再量不尽，再重复前述步骤…… 会不会永远量不完？ 毕达哥拉斯：不会，因为任何两线段皆可共度！ 定理1：任何两线段a与b是可共度，即： 存在共度单位u0,使得a=m*u，且b=n*u，其中m与n为两个自然数(可以用长度为u的线段同时把a、b量尽) 定理2：任何两线段a与b可共度 = a/b是一个有理数 长方形面积公式的证明 定理3：长方形面积=长*宽=a*b 证明：由于a与b可共度，故可取到共度单位u，使得 a=m*u，且b=n*u 用u将长分成m等分，宽分为n等分，立即可以看出长方形的面积为 m*n个 u2 单位，恰好就a*b b=n*u a=m*u 每格的面积是u2 勾股定理的证明 要证：左图直角三角形三边关系为a2+b2=c2 证明：根据三角形三内角可知，右图中较小四边形是一个正方形，并且可以看出 大正方形=小正方形+四个全等直角三角形 即 不可共度线段的发现 正四边形的与正五边形，对角线不可共度，而右上图中 右下图中 只需证明存在一个无理数，则可证明存在不可共度的线段 定理5： 不是有理数 不可共度线段的挑战 两条路： 1）接受无理数为数，扩大数的概念为实数，以应付几何学的需要 2）拒绝承认无理数为数，但接受不可共度线段的实际存在 古希腊人的选择：第二条道路 后果：数学与几何分开发展，变为几何优先论 芝诺悖论 a、二分法：要到达终点，先要到中点，而中点是无限的。 b、阿基里斯追龟：要追上乌龟，先要到乌龟先前的位 置，但乌龟总是在先前的位置之前。 c、飞矢不动：运动意味着不能在一个地方停留，但是飞矢在任何一个时刻都在停留它所在的地方。 d、运动场。 从数学的观点看： a、b针对的是连续派，说明无限分割导致无法到达另一端，从而导致悖论 c、d针对的是离散派，说明即使可以分割到一个点（一个瞬间），也同样导致悖论 柏拉图： 柏拉图对不可共度线段的重视 ——不知道正方形的边与对角线不可共度的人，实在枉费生而为人 处理办法：1、把点、线等概念安置到理念世界 2、几何优先论 规尺作图：只运用没有刻度的直尺和圆规两个工具，在有限步骤之内，作出几何图形。（柏拉图规矩） 希腊数学三大难题 (1)化圆为方，即求圆的面积 (2)二倍立方，即求一立方体之边，使其体积等于已知边长的立方体的二倍 (3)三等分任意角。 亚里士多德：逻辑与演绎 三段论： 人都是会死的 苏格拉底是人 所以 苏格拉底会死 演绎法： A为何成立？因为B；B为何成立？因为C；……这样就会无止境地回溯下去，无法完成A的证明。 因此要讲究证明就必须有个直接的出发点，叫做公理(axioms) ，他认为公理是显明的，每个人都能接受而不必证明。要做推理，除了公理之外，还需要一些定义(definitions)、假设 (hypothesis) 以及一般公理（postulates） 欧多克斯 毕达哥拉斯的学派的几何研究纲领并没有完全失败。对于长方形面积公式及相似三角形基本定理，毕达哥拉斯的证明在可共度情形下并没有错，所以只需要补上不可共度情形的证明就可以了 点动成线、线动成面，面动成体。换言之，线、面、 体分别有点、线、面组成。但是点没有长度，如何积累出有长度的线段？线只有长度，没有宽度，即线段没有面积，如何积累出有面积的平面领域？ 欧多克斯：用比例法(theory of proportion)解决了I， 而用穷尽法(method of exhaustion) 初步克服了II 欧几里德《几何原本》 《几何原本》共13篇 1、直边形 2、用几何方法求解代数问题 3-4 圆 5、比例论 6、相似形 7-10 数论 11-13 立体几何 欧氏《几何原本》的基本特色： 由少数几条公理出发，推导出所有的几何定理 五条公理： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一