数学分析选讲教案3.docVIP

《数学分析选讲》教案5 授课时间 2005 年9月21日第4周星期三 第二 大节 授课地点 6403 实到人数 117 授课题目 函数的连续性 授课专业 班级 信息与计算科学 教学目的 与 教学要求 1 掌握函数导数、微分的概念、性质和运算的方法。 2 掌握分段函数求导方法，证明有关问题,. 主 要 内 容 1、函数导数微分概念、 性质辨析。 2、导数与微分的关系及应用 3、问题证明及运算技巧 重点与难点 重点：各类函数导数计算方法。 难点：导数有关问题证明 教学方法 手段（教具） 讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合 参考资料 数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题 2006年高等数学考试测试题 课后作业与 思考题 作业1.2.3.4.5.6 思考题：函数导数与微分的异同。 教学后记 讲稿部分 教学过程时间分配 是上的函数,其中常数.若极限 存在且有限,则称在处可导；将该极限记为,称为在处的导数. 定义3.2 设是上的函数,其中常数.若极限 存在且有限,则称在处右可导；将该极限记为,称为在处的右导数.类似地,能定义在处的左导数.显然在处可导在处左、右可导,并且. 定义3.3 设是以为左、右端点的区间.若上的函数满足 (1) 当是的内点时,在处可导； (2) 当时,在处左可导； (3) 当时,在处右可导, 则称是上的可导函数.此时,通常记 显然仍然是上的函数,称为的导函数. 20m 第 页 共 页讲稿部分 教学过程时间分配 是函数的图像在处的切线的斜率；是函数的图像在处的法线的斜率. 定理3.1 若函数在处可导,则必处连续；若在处右可导,则必处右连续；若在处左可导,则必处左连续.反之,通常不正确. 2概念辨析 （1）关于 这是两个不同的概念，两者互不兼容。 考虑 20m 第 页 共 页教学过程时间分配 在 20m 《数学分析选讲》教案6 授课时间 2005 年9月23日第4周星期三 第二 大节 授课地点 6402 实到人数 117 授课题目 微分中值定理及其应用 授课专业 班级 信息与计算科学 教学目的 与 教学要求 1 掌握Rolle Theorem , Lagrange Theorem Cauchy Theorem Tailor Formula 。 2 灵活运用中值定理证明有关问题,. 主 要 内 容 1、Rolle Theorem , Lagrange Theorem Cauchy Theorem Tailor Formula 2、上述定理应用 3、问题证明及运算技巧 重点与难点 重点：三个中值定理和泰勒公式。 难点：运用公式对有关问题证明 教学方法 手段（教具） 讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合 参考资料 数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题 2006年高等数学考试测试题 课后作业与 思考题 作业1.2.3.4.5.6 思考题：三个中值定理和泰勒公式之间的联系。 教学后记 讲稿部分 教学过程时间分配 是开区间上的函数,.若,使得当时成立,则称是的一个极大值,是的一个极大值点；类似地,可以定义的极小值和极小值点；的极大值和极小值统称为的极值, 的极大值点和极小值点统称为的极值点. 定理6.1.(极值点的必要条件) 若函数在其极值点处可导,则. 证: 不妨设是的极大值点.取,使得当时成立.故 , , 从而 .□ 定义6.2.(术语) 设是开区间上的函数,.若在处可导,并且,则称是的一个驻点.于是,若函数在其极值点处可导,则该极值点便是的驻点.易知的驻点未必是的极值点(例如是的驻点,但并非其极值点). 20m 第页 共 页讲稿部分 教学过程时间分配 在有限闭区间上连续,在上可导,并且,则必,使得.(注意其几何意义) 证: 当是常数时,结论显然成立.当不是常数时,在上的最大值和最小值中必有一个异于,不妨设 .这时,使得,故是的极大值点,从而.□ 定理3.8(Cauchy中值定理的另一形式) 若函数在有限闭区间上连续,在上可导,并且,则必,使得 . 证: 记,则在上连续,在上可导,并且 .故,使得 , 即 .□ 定理3.9( Lagrange中值定理) 若函数在有限闭区间上连续, 在上可导,则必,使得.(注意其几何意义) 20m 第 页 共 页讲稿部分 教学过程时间分配 即可.□ 推论1 若是区间上的可导函数,并且,则必为常数. 证: ,由Lagrange中值定理,,使得,即.这说明是常数.□ 推论2 (导函数的介值定理和零值定理) 若是有限闭区间上的可导函数,,则介于之间的实数,必